29555 Obraz2 (89)

niektórych zmiennych, dobieranie (jeżeli to możliwe) konkretyzacji innych, aby warunek był spełniony — to ostatnie w możliwie różnych kombinacjach. Ćwiczenia typu l) i 2) oraz 1) i 3) stanowią pary ćwiczeń wzajemnie odwrotnych. W ćwiczeniu typu 3), zmieniając rolę danych z poszukiwanymi, otrzymujemy również pary ćwiczeń odwrotnych. Często rozwiązanie jednego z zadań odwrotnych uczeń opiera na przyswojonym schemacie. Rozwiązanie drugiego z tych zadań jest wtedy dlań trudniejsze, bo odwracanie znanego schematu postępowania najczęściej nie jest łatwe. W zadaniu zilustrowanym na rysunku IB warunkiem, o którym mówimy, jest warunek „złożenie symetrii środkowych S], s₂ jest translacją T” (warunek ten zawiera trzy zmienne). Twierdzenie o składaniu dwóch symetrii środkowych wyraża się praktycznie w schemacie postępowania: jeżeli spotkam w jakiejś sytuacji dwie symetrie środkowe, to ich złożenie mogę traktować jako translację, której wektor jest dwukrotnością wektora wyznaczonego przez parę: środek pierwszej i środek drugiej symetrii. Ćwiczenia podstawowe związane z tym tematem powinny być wielokierunkowe. Uczeń stosuje najpierw wprost ten schemat postępowania, rozwiązując zadanie: jaką izomelrią jest złożenie symetrii względem środków boków wielokąta o parzystej liczbie boków (symetrie składamy w porządku ustalonym przez cykliczny porządek boków). Inne ćwiczenia wymagają odwrócenia schematu. Na przykład: przedstaw daną translację jako złożenie dwóch symetrii środkowych, uwzględnij wszystkie możliwe takie rozkłady: dane są translacja i symetria środkowa s, dobierz tak drugą symetrię środkową s\ aby dana translacja była złożeniem a) ss\ b) s's; ustalono jedną symetrię środkową s₀, udowodnij, że zbiór izometrii postaci s₍₁ s lub ^ gdzie s przebiega zbiór wszystkich symetrii środkowych, jest zbiorem wszystkich translacji; udowodnij, że każdą translację można przedstawić jako iloczyn 2n symetrii środkowych, z których 2n - 1 można zadać dowolnie (n jest dowolnie z góry zadaną liczbą naturalną). Oczywiście w związku z każdym twierdzeniem rozwiązuje się zawsze różne zadania. Chodzi jednak o to, aby w doborze tych zadań, między innymi kryteriami, decydowało świadomie przez nauczyciela stosowane kryterium wielokierunkowości w stosowaniu schematu postępowania sformułowanego na podstawie definicji czy twierdzenia.

W rozważanych w 5.4.1 przykładach za warunki, o których wyżej wspomniałam, można uznać warunki:

1)    2-a = B

n

2)    Iloczyn wielomianów P i Q jest wielomianem R.

3)    Pochodną funkcji w danym przedziale jest funkcja#.

4)    Podobieństwo p przekształca zbiór punktów/ na zbiór punktów/'.

5)    Liczba a jest n-tą potęgą liczby b.

6) /jest proporcjonalnością prostą, odwzorowującą zbiór Z na zbiór Z'.

7)    Z jest zbiorem utworzonym z tych i tylko tych elementów zbioru Z, które spełniają warunek określony na Z'.

8)    x-f(a, b, c).

9)    Aksjomaty incydencji w płaszczyźnie:

A    V    A    V

x, yea);    x,y,zea;

x,yeZ_{    aeZ₂    aeZ., x,y,zeZ₁

x, y, z € Z. a e Z

(x i. a v y g a v z £ a)

b) Kontrastowanie

Bardzo ważnym zabiegiem dydaktycznym w prawidłowym kształtowaniu operatywnych schematów matematycznych w myśli ucznia (operatywnie ujmowanych definicji i twierdzeń) jest kontrastowanie. Oto przykłady pytań, na które w związku, z poznanymi definicjami uczeń powinien sobie wyraźnie w postaci planu postępowania odpowiedzieć.

Jakie czynności wykonam odwołując się do definicji granicy ciągu, aby pokazać, że granicą ciągu liczbowego a„ jest liczba g, a jakie, aby pokazać, że g nie jest granicą ciągu a„l Jakie czynności wykonam odwołując się do definicji ciągłości funkcji, aby pokazać, że funkcja/jest ciągła w punkcie x₀, a jakie, że nie jest ciągła w punkcie x₀l

Jak będę sprawdzać, że jakiś zbiór punktów jest wypukły, a jak że nie jest wypukły? Jak sprawdzę, że pewna relacja jest w zbiorze T przechodnia, a jak, że jest nieprzechodnia, a jak, że nie jest przechodnia?

Podobnie kontrastowanie wystąpi w konstrukcji przez ucznia przykładów. Wyróżnij w grupie izometrii jej dowolną podgrupę. Wyróżnij w zbiorze izometrii podzbiór, do którego należy przekształcenie tożsamościowe, zamknięty ze względu na składanie przekształceń, ale który nie tworzy grupy przekształceń. Wyróżnij w zbiorze izometrii jego podzbiór o tej własności, ze wraz z każdym przekształceniem doń należącym, należy

251