44 3

a następnie powraca do punktu a po drodze 2. W czasie ruchu czystki po o drogach siła wykonuje nad nią pracę. Nie analizując, na której drodze praca*: dodatnia, a na której ujemna, oznaczmy po prostu pracę wykonaną od a do^; drodze I przez W_{oh x%} a pracę, wykonaną od h do a na drodze powrotnej 2 Wftu.2- Nkoro siła jest zachowawcza, 10 praca całkowita na drodze zamkni musi być równa /.eru, izn.:

W ul,, | -f- W_tM,_% 2 = 0.

a siad:

a-H^.2.    (8

Z równania tego wynika, żc praca wykonana na drodze w jedną stronę musi przeciwna do pracy wykonanej na drodze powrotnej.

Rozważmy teraz pracę W,wykonaną przez siłę nad cząstką w czasie jej rudni z a do b po drodze 2. jak zaznaczono na rysunku $.4a. Siła jest zacho* wawcza, a zatem praca ia jest przeciwna do li'/,,,.2, czyli:

-li/„,.:.    (84)

Podstawiając w równaniu (8.3) W,,/,,₂ w miejsce - Ik/,,,.?. otrzymujemy:

=■ ii

czego /amier/aliśmy dowieść.

Na rysunku przedstaw inno ir/y dmgi. któro łączą punkt) ,/ i h. O/.ialująęu na cząstkę siła /•' wykonuje na każdej z tych 1 dróg pracę o wartości podanej na rysunku. Kor/y-¹ stając 7 tych inlormacji odpowiedz, czy siła /•' jest zachowawcza.

Przykład 8.1

Na rysunku 8.5a pokazano blok śliskiego sera o masie 2 kg. ze.śli-zgujący się t>ez lancia z punktu a do punktu h po tor/e przedstawionym na rysunku. Całkowita droga przebyta przez'ser j»o tym mrze jest równa 2 m. a sumaryczna zmiana jego położenia w pionie wynosi O.X m. Jaką pracę wykonuje nad serem siła ciężkości w czasie jego ruclm po tym lor/c?

ROZWIĄZANIE:

O—» 1. l>o obliczenia pracy, wykonanej pr/cz siłę ciężkości /%. nad serem u czasie jego ruchu po danym lorze nie możemy zastosować wzoru (7.12) (IV_?    inydcos<f>). gdyż kąt tf> między

kierunkami sity i przemieszczenia d zmienia się wzdłuż, toru v. sposób, którego nic znamy (u gdybyśmy nawet znali dokładnie kształt toru i potrafili wyznaczyć zmienność </, wzdłuż, tego toru. to obliczenia byłyby bardzo trudne).

O—* 2. Siła F_v jest siłą zachowawczą, więc do wyznaczenia pracy możemy zastosować jakąś inną drogę między a i b. dla której obliczenia są łatwe. Wybierzmy w tym celu drogę, oznaczoną na rysunku $.5.b limą przerywaną. Składa się ona z dwóch odcinków prostoliniowych. Dła odcinka poziomego kąt <p jest stały

1 wynosi 90 Choć nie znamy przemieszczenia sera w poziomie, to na podstawie wzoru (7.12) stwierdzamy, ze praca W_h. wykonana na odcinku poziomym jest równa:

b'i, =• myd cos 90 =. 0

Rys. 8.5. Przykład 8.1. a) Blok sera ześlizguje się bez tarcia z punktu (i do punktu b po tor/e przedstawionym na rysunku b) Obliczenie pracy wykonanej nad serem przez siłę ciężkości na drodze oznaczonej limą przerywaną jest łatwiejsze niż wyznaczenie pracy wykonanej na drodze, po jakiej ser w rzeczywistości się przemieszczał, a wynik obliczeń jest taki sum dla obydwu dróg

172

8. Energia potencjalna i zachowanie energii

W tym paragrafie wyprowadzimy wzory na energię potencjalną dla dwóch jej lodzajów omawianych w tym rozdziale, Izn. dla grawitacyjnej energii potencjalnej i dla energii potencjalnej sprężystości. Najpierw jednak musimy znaleźć ogólny związek między silą zachowawczą a związaną z nią energią potencjalną.

Rozważmy ciało o właściwościach cząstki stanowiące część układu, w którym działa siła zachowawcza F. Gdy siła wykonuje nad ciałem pracę IV. zwią-

zana z tym /miana energii potencjalnej układu jest przeciwna do wykonanej pracy. Związek ten zapisaliśmy już w równaniu (X.l) jako A/*,, ~ — W. W przypadku ogólnym, gdy siła może zależeć od położenia, praca U jest wyznaczona przez równanie (7.32). l/n.:

(8.5)

Jest to wzór na pracę, wykonaną przez, siłę nad ciałem w czasie jego przemieszczania z punktu Aj*_v/ do punktu przy którym zmienia się konfiguracja układu (ponieważ siła jest zachowawcza, to praca jest taka sama dla każdej drogi między dwoma danymi punktami).

Podstawiając (8.5) do (X. 1). wyznaczamy zmianę energii potencjalnej układu, związaną ze zmianą jego konfiguracji jako:

' wektory F_z i d skierowane są w dół. to kąt 0 jest stały jego ruchu l punktu « do punktu b. po drodze oznaczonej linią i 0°. % równania (7.12) wynika zatem, że praca W_v, wy- przerywaną jest wobec tego równa:

W = VV„ + W_v a* (0) + (15.7 J) =« 16 J- (odpowiedz.) Jest to także wartość pracy wykonanej muł serem w czasie jego ruchu z. a do b po danym lorze.

na odcinku pionowym jest równa:

(8.6)

Jest to poszukiwane prz.cz. nas wyrażenie ogólne. Zastosujemy je teraz w przypadkach szczegół nych.

Grawitacyjna energia potencjalna *

Rozważmy najpierw cząstkę o masie w, poruszającą się pionowo wzdłuż osi v (o kierunku dodatnim do góry). Gdy cząstka przemieszcza się z. punktu do punktu >w,c. siła ciężkości F_v. wykonuje nad nią pracę. W celu wyznaczenia towarzyszącej lenni zmiany energii potencjalnej układu ciało-Ziemia zastosujemy równanie (8.6). z tym że: 1) całkować będziemy wzdłuż osi y. a nie a. gdyż siła ciężkości działa w pionie, 2) w miejsce siły F podstawimy wartość —/wg, ponieważ, siła f\. ma wartość mg i jest skierowana wzdłuż osi y w dół. Mamy wobec tego:

8.3. Wyznaczanie energii potencjalnej