CCF20101004010

30 2. Ocena, błędu maksymalnego

('ostawiając (2.2.8) do (2.2.7) otrzymujemy:

30 2. Ocena, błędu maksymalnego

Wzór (2.2.9) można bardzo łatwo uogólnić na przypadek, gdy wielkość złożona z jest funkcją r wielkości mierzonych bezpośrednio, tzn.

rzone wielkości *i, .uj,..., x_r, a przez Aaą, Az?,..., Az,, ich błędy maksymalne. Wykonując rachunki identyczne jak powyżej otrzymujemy:

(2.2.10)

Wyrażenie (2.2.10) pozwalające oszacować błąd maksymalny wielkości złożonej stanowi ilościowe ujęcie tzw. reguły przenoszenia błędu dla przypadku błędu maksymalnego. Przedstawiona metoda obliczania błędu maksymalnego często nosi nazwę metody różniczki zupełnej.

Ze wzoru (2.2.6) wynika, że:

(2.2.11)

z_m - Az < z₀ < z_m + Az .

Otrzymujemy więc związek analogiczny do nierówności (1.1.4). Możemy go również przedstawić, w formie wzoru (1.1.7), tj.:

|

z_a — z_m ± Az .

We wzorach (2.2.11) i (2.2.12) z_m = f(x_m,y_m) odpowiada ż we wzorach (1.1.4) i (1.1.7), zaś błąd maksymalny Az odpowiada A we wzorach (1.1.4) i (1.1.7). W ten sposób, w przypadku gdy błędy systematyczne są znacznie większe od przypadkowych, lub gdy jakakolwiek wielkość fizyczna mierzona bezpośrednio została zmierzona jeden raz, otrzymaliśmy odpowiedź na pytanie postawione w rozdziale 1.1.2 o cel teorii błędów.

Az

Należy zaznaczyć, że jeżeli błędy maksymalne wielkości mierzonych bezpośrednio Ai,- zostały określone prawidłowo i nie ma innych źródeł błędów systematycznych, to wielkość Az obliczona ze wzoru (2.2.10) określa granice (górną i dolną) przedziału, w którym zawarta jest wartość rzeczywista. Z, tego co powiedziano wyżej wynika, że błąd maksymalny względny jest równy:

Na zakończenie tego rozdziału przedstawimy przypadek, kiedy zastosowanie metody różniczki zupełnej umożliwia bardzo proste obliczenie błędu

maksymalnego względnego. Niech wielkość złożona 2 będzie funkcją wielkości mierzonych bezpośrednio z, (i = 1,2postaci:

(2.2.13)

2 = diK

gdzie A oraz n, są stałymi. Logarytmując równanie (2.2.13) otrzymujemy:

In 2 = ln A + a, In :c; .

i=l

(2.2.13)

Korzystając ze znanego wzoru d(lu f(x)) — d {f(x))/f(x) i założeń zrobionych przy wyprowadzeniu wzoru (2.2.10) otrzymujemy dla błędu względnego wyrażenie:

(2.2.15)

Ten sposób obliczania błędu maksymalnego względnego bywa nazywany metodą pochodnej logarytmicznej.

Ze wzorów (2.2.10) i (2.2.15) wynikają podstawowe reguły przenoszenia błędów maksymalnych, a mianowicie jeżeli:

1. z = x i-l- x₂ to A z = |Azi| -|- |Aaj|.

2. 2 = *| - z₂ to Az = (A:c_Ł| + |Aa'2|.

3. 2 = x 1 :r.2 to A2/2 = |Ami/xi | -|- \Ax₂lx₂\.

3.2 = *j/*₂ to Az/z = \Ax_y/x_y\ + |Aa.-₂/a:2|-

Z powyższego wynika, żc: jeżeli wielkość złożona 2 jest sumą lu ) różnicą wielkości mierzonych bezpośrednio, to dodają się błędy maksymalne, a gdy iloczynem lub ilorazem to dodają się błędy maksymalne względne.

Przykłady

1.    Wyznaczanie obwodu czworokąta.

Mierząc boki czworokąta otrzymujemy wartości l_y, l₂, l_:!, I4. Obwód czworokąta L ~ l_y -|- l₂ -|- l_:j 4- I.4. Niech błędy maksymalne pomiarów boków lego czworokąta, wynoszą. Alj, Al₂, A/3 i Abp Wówczas błąd maksymalny wyznaczonego obwodu będzie AL = Al, -|- Al₂ + A/_;i    AL,. W przypadku

gdy Al, -= Al₂ — AL, — AL, = Al to AL — 4AZ; czyli błąd wyznaczonej długości obwodu czworokąta będzie czterokrotnie większy niż błąd pomiaru każdego z boków.

2.    Wyznaczanie ciepła topnienia lodu.

Ciepło topnienia lodu wyznaczamy przy użyciu kalorymelru wodnego. Oznaczmy odpowiednio przez 1% i c,„, rn„, ciepło właściwe i masę kaloryinctru z mieszadełkieiri oraz ciepło właściwe i masę