264
prr.y * -* oo.
22. a) Mamy:
rłl<.-H)l * — (»+l T" 2-»! 2(n+l)n-
m
am = 0 (por. zad. 14).
b) Pozostawiamy Czytelnikowi.
23. Korzystając, zgodnie ze wskazówką, z nierówności
W*'
Twierdzenie o trzech c
t) Zauważmy najpierw, że ('+ = [(']’
(l+Jj) -♦*. więc (por. zad. 19) 1 < ^1 + < e. Stąd !
Na ptNlutnwie twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że lim c, I
M. Weźmy dowolną liczbę naturalną n. Wtedy oczywiście {Ute W: ' n) i (* e IM: k > n + I}, więc (por. zad. 35, rozdz. IV) a, < a.,, < fi,,, < fi,
' ••mii ciąg {a.| jest rosnący, zaś ciąg {fi,) jest malejący. Ponadto a, < /I, oraz
* i, dla nelM. Oznacza to, że {<*„} jest ograniczony z góry, zaś {fi,} z dołu. lwi naszego stwierdzenia wynika z zad. 16.
Ift. Nierówności te są konsekwencją faktów ustalonych w rozwiązaniu r'iHMuluicgo zadania.
II a) Wyznaczając ciągi {a,} i {fi,} z zad. 25 mamy w nus/.ym przypadku: -l.fi,- I dla heN,
* *Hfo liminf<j„ = — 1, limsupa„ = 1.
b| lim inf fi, = 0, lim sup fi, = 2,-
•) lim inf cm = -, lim supc, = e,
4) lim inf fi, ■= — 1, lim sup fi, * 1.
tH Standardowy dowód pozostawiamy Czytelnikowi.
W Ustalmy dowolnie e > 0. Wtedy dla liczby M = 'istnieje n0e W takie, ze ■i ♦ M dla n > no, neW. Stąd 7^7 < 7; = « dla n 3s n0, tzn. że ' \< r. dla
• <■„ /godnie z definicją granicy oznacza to, że lim — = 0.
VI. Dowód pozostawiamy Czytelnikowi.
tl. Dowód jest prostą konsekwencją nierówności nk ^ k dla kr W, gdzie •>,l jest dowolnym ciągiem ściśle rosnącym o wyrazach będących liczbami
zystych
M. a), c), d) — rozbieżne; b) — zbieżny.
• 1 /.my np. rozbieżność ciągu {ej. Biorąc podciąg o wyrazach
•u rymujemy;
Imaz dla podciągu {r*,} mamy:
IR.
»sd ' ' zad. 31 wynika, że {r„) nic ma granicy