262

14.    Uitalmy « > O tak małe, żeby q+t < I. Znajdźmy n₀eW takir. /i>ti» 11 “"a ”|* * ^d,a " ^ "o- Dalej, biorąc dowolne n > n₀ mamy

< eoę-e ś |^-| <? + £=* |a. _{+ l}| < |o.|(ą + e).

Stąd mamy |a„_o4.,| < |fl,₀|(q + e) =>|a,₀ + j| < k.„l (<? + e)² i ogólnie:

"’-^K(iT^⁽'^1+t)" ^dla ”>"■-

Zatem, na podstawie twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy, że lim <i, - "

15.    a) Mamy:

H s£nr ? -ft    ir - *

Stąd i z zad. 14 wynika, że lim a, = 0.

b) lim b„ = 0. Dowód podobny jak w a.

16,    Twierdzenie to jest udowodnione w roz

17.    Wystarczy zauważyć, że ciąg {a.} jest r

18. Bez trudu dowodzimy, że ciąg ten jest rosnący, i Korzystając z zad. 34, rozdz. I, mamy, żea,s$2--<2 ten jest ograniczony z góry przez 2. Stąd istnieje lim a przekracza liczby 2.

W.ta.cam, a.-(l+ij,    +

obydwu ciągów są dodatnie. Mamy:

..HT

Stąd 11 nierówności Bcrnoullicgo otrzymujemy:

«^ł + 3n^ł + 3w+2

n' i Jh^j i 3n l I

fałatu ciąg {aj jest ściśle rosnący. Podobnie pokazujemy, że ciąg {bj jest ściśle

..Mlf|ą,-y.

/ drugiej strony z.auważmy, że ciąg {6,} jest ograniczony z. dołu, np. przez i- • l»v I. zaś ciąg {aj jest ograniczony z góry przez liczbę 3 (por. zad. 48,

.    . b„

■ !/ III). Zatem ciągi te są zbieżne do granic właściwych. Ponieważ lim lim ^1 + * ^ = 1, więc lim a, = lim b_m = e. Zauważmy jeszcze, żc / przesadzonego wyżej dowodu wynika, ż

>IU ku/dego neifl

20. Zgodnie z nierównością ustaloną wyżej (tj. w rozwiązaniu zad. 19) mamy 11 . ^ j > e. Stąd

.Ilu dowolnego nelM.

II. Niech n_k będzie dowolnym ciągiem liczb całkowitych dążącym do > Układy dla dowolnego e > 0 istnieje n₀ = n₀(s) takie, że J^l -ej < * dla »„ Stąd wynika, że |^1— ej < e dla n₄ > n₀. Zatem lim ^1 l - e.

leżeli teraz ciąg (aj (a, > 1) dowolnych liczb zmierza do oo, to istnieje taki • iM liczb całkowitych {«J, że n_k < a* < n_k +1 oraz n_k -* co.

Zauważmy teraz, że

♦3K)

'••••» /ad 19). Biorąc pod uwagę, że lewa i prawa strona powyższej nierówności • ••>i< i/a do e, otrzymujemy \im |l t- * j — e.