Ciagi zad! 32 odpowiedzi

264

przy * - co.

22. a) Mamy:

2"^+,(n+1)! n"

.^-orpir⁵"^

2(n+ l)n"

(n + l)"(«+l) «

= -<l=>lima, = 0 (por. zad. 14). b) Pozostawiamy Czytelnikowi.

23. Korzystając, zgodnie ze wskazówką, z nierówności erdzenie o trzech ciągach kończy dowód.

e) Zauważmy najpierw, że ^1 + ^^ ⁼ f(^,+w*)

(I + Jj) ~*e, więc (por. zad. 19)    1<^1 + -^ <e. :

Na podstawie twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że lim «•„

SU, Weźmy dowolną liczbę naturalną n. Wtedy oczywiście {JeflW: |g) :j [keM:k > n + więc (por. zad. 35,rozdz. IV)a„ < a.», ^ (!„,, ■ //„ ciąg {a,} jest rosnący, zaś ciąg {/?„} jest malejący. Ponadto a„ < //, oraz jf, dla neW. Oznacza to, że {a,} jest ograniczony z góry, zaś {/?„} z dołu. _ ■»*fło stwierdzenia wynika z zad. 16. j|S, Nierówności te są konsekwencją faktów ustalonych w rozwiązaniu niego zadania.

|7. a) Wyznaczając ciągi {a„} i {/?.} z zad. 25 mamy w naszym przypadku: a,m — I, p„ = 1 dla neiM, jlę> llminfd, = - 1, limsupa„ = 1. liminfb, = 0, limsup/>„ = 2,-

• ) llminfc. = —, limsupc. = e,

4) liminfd. = — 1, limsupd, = 1.

JH, Standardowy dowód pozostawiamy Czytelnikowi.

W, Ustalmy dowolnie e > 0. Wtedy dla liczby M = * istnieje n₀eIM takie, że W dla n ^ n₀, nelM. Stąd ^ ^- = £ dla n ^ n₀, tzn. że |    ■ i dla

KI M    |a,|

p , /.godnie z definicją granicy oznacza to, że lim = 0.

Ml. Dowód pozostawiamy Czytelnikowi.

II, Dowód jest prostą konsekwencją nierówności n_k > k dla fceWI, gdzie ■U |rsl dowolnym ciągiem ściśle rosnącym o wyrazach będących liczbami ■hitalnymi.

■    12. a), c), d) — rozbieżne; b) - zbieżny.

Hhdźomy np. rozbieżność ciągu {c„}. Biorąc podciąg o wyrazach nieparzystych

ly litujemy:

Ma/ dla podciągu {c^} mamy: ||d I z zad. 31 wynika, że {c,} nic ma granicy w Ift.