Ciagi zad 21 odpowiedzi

14. IJHtnlmy r. > O lak małe, żeby q + e < 1. Znajdźmy n„eM takiej — -(/ < c dla n ^ n„. Dalej, biorąc dowolne n 2 n₀ mamy:

Sląd mamy |a._otł| < |a,₀|(g + e)=>|a.₀*₂| < k₀l(<J + £)² i ogólnie:

Zatem, na podstawie twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy, że lim

15.    a) Mamy:

lim|^a*^łł| - lim ²"^ł‘    "^! lim ²" ^{2 n!} lim ²    0 1

Stąd i z zad. 14 wynika, że lim a, = 0.

b) lim b„ = 0. Dowód podobny jak w a.

16.    Twierdzenie to jest udowodnione w rozwiązaniu zad. 75, rozdM

17.    Wystarczy zauważyć, że ciąg {a,} jest rosnący (dowód jest trymr i ograniczony (zob. zad. 50, rozdz. III).

Następnie skorzystać z twierdzenia w zad. 16.

18.    Bez trudu dowodzimy, że ciąg ten jest rosnący, a nawet ściśle i? Korzystając z zad. 34, rozdz. I, mamy, że a„ ^ 2 - - < 2 dla n e M, a więc ( ten jest ograniczony z góry przez 2. Stąd istnieje lim a, oraz granica In przekracza liczby 2.

. Zauważmy, że wyj

19. Oznaczmy

obydwu ciągów są dodathie. Mamy:

Stąd I z nierówności Bcrnoullicgo otrzymujemy:

\ n + 2w # 1 / M + 1 n +3» jClłjg {«„} jest ściśle rosnący. Podobnie poka;

i III). Zatem ciągi te są zbieżne do granic właściwych. Ponieważ lim f I + - J = 1, więc lim a„ = lim b„ = e. Zauważmy jeszcze, żc z

;oncgo wyżej dowodu wynika, ż

<«Kr •

Bodego n G IM.

cią ustaloną wyżej (tj. w rozwiązaniu zad. 19) mamy

JO. Zgodnie;

J * j > e. Stąd

powolnego neW.

21, Niech n_k będzie dowolnym ciągiem liczb całkowitych dążącym do <r. 3ily dla dowolnego e > 0 istnieje n₀ = n₀(e) takie, że j^l -<*| < fl dla i m„, Stąd wynika, że |^1-e| < cdla n_k > n₀. Zatem lim ^l4-|-j-e.

leżeli teraz ciąg {a*} (a_k> 1) dowolnych liczb zmierza do oo, to istnieje taki ] liczb całkowitych {n_t}, że n_k < a_k < n_k+ 1 oraz n_k -* co.

I Zauważmy teraz, że

♦3K)

a powyższej nierówności

V /ad. 19). Biorąc pod uwagę, że lewa i •r/.a do r. otrzymujemy lim (I + - ]