Ciagi zad 1 5 odpowiedzi

więc z zad. 116 wynika, ż

konsekwencja definicji zbioru <

Wtedy A = Ga/», _Kd/J#

238    v sumknty topolociii w

A - FaQ m (GaAT)aQ = G*{N*Q) . Gap,

co kończy dowód.

117.    Jest to natychmi;

Iłaircu oraz zad. 116.

118.    Korzystamy ze wzoru (A&BY = A'&B

(zob. zad. 55, rozdz. II).

Załóżmy więc, że A ma własność otwarty, P zaś jest I kategorii. Wtedy A' = G'&P

I'jest zbiorem o własności E

119. Wobec zad. 118 wystarczy pokazać, że Q ma własność Bairc’* I wynika stąd, że Q jest zbiorem I kategorii (zad. 104) oraz z zad. 117,

Rozdział VI

CIĄGI LICZBOWE

ograniczony i malejący,

ki ograniczony (można pokazać, że fc„e[-3, 8] dla neiM); począwszy od ^■0 wyrazu ściśle malejący,

■[Ograniczony i malejący,

dl: ograniczony z dołu przez liczbę 1, ale nieograniczony z góry. Jest to ciąg, Bsta jest monotoniczny.

t Czytelnik s b ■) Ustalmy dowolnie c

• 0. Załóżmy, że | ——— 21 < e. Stąd otrzymu--1. Zatem wystarczy (zgodnie z definicją granicy

k), c), d) — pozostawiamy Czytelnikowi.

») Ustalmy dowolnie M > 0. Załóżmy, że log (log n) > M. Stąd znajdujemy, I > |()^,0“. Zatem w definicji ciągu zmierzającego do oo wystarczy podstawić

fc 10""*.

i Załóżmy, że |aj $ M dla n e IN. Ustalmy dowolnie e > 0 i weźmy liczbę L . Ponieważ lim b_H = 0, więc istnieje HoeiM takie, że |bj ^ e, dla n > n₀. km. dla n 2 n₀ mamy:

Ki |bj <s₁-M-KKK8,

8 /godnie z definicją granicy oznacza, że lim a„b, = 0.

8. a) Oznaczmy x_m ■ y, = sin(3n + l),n = 1,2,... Wtedy oczywiście I*. - 0, zaś |y,| - |sin(3n+l)| < 1 dla wszystkich nelM, a więc {y,} jest