Wykład 7: Wybrane rozkłady typu ciągłego
(dokończenie)

4) Rozkład Laplace'a (dwustronny wykładniczy)

, x ∈ R, λ > 0 ,

EX = μ = M = m,

Var(X) = 2λ².

5) Rozkład Rayleigha - ciągły rozkład prawdopodobieństwa powstający jako rozkład długości wektora na płaszczyźnie, którego składowe X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym.

Jest używany m.in. w elektronice. Odległość strumienia elektronów na kineskopie od celu (środka plamki luminoforu) jest funkcją niezależnych błędów o rozkładzie normalnym, związanych z odchylaniem poziomym i pionowym.

f(x) =
, x ≥ 0

F(x) =
, x ≥ 0

Rozkład Rayleigha
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Wartość oczekiwana
Mediana
Moda
Wariancja

6) Rozkład Maxwella

, x ≥ 0, λ > 0 ,

.

7) Rozkład Weibulla - ciągły rozkład prawdopodobieństwa często stosowany w analizie przeżycia do modelowania sytuacji, gdy prawdopodobieństwo śmierci/awarii zmienia się w czasie.

Może on w zależności od parametrów przypominać zarówno rozkład normalny (dla k = 3.4) , jak i rozkład wykładniczy (sprowadza się do niego dla k = 1).

f(x) =
, x ≥ 0

F(x) =
, x ≥ 0

Parametr k rozkładu określa zachowanie prawdopodobieństwa awarii (śmierci) w czasie:

• dla k < 1 prawdopodobieństwo awarii (śmierci) maleje z czasem. W przypadku modelowania awarii urządzenia sugeruje to, że egzemplarze mogą posiadać wady fabryczne i powoli wypadają z populacji.

• dla k = 1 (rozkład wykładniczy) prawdopodobieństwo jest stałe. Sugeruje to, że awarie mają charakter zewnętrznych zdarzeń losowych.

• dla k > 1 prawdopodobieństwo rośnie z czasem. Sugeruje to zużycie części z upływem czasu jako główną przyczynę awaryjności.

Parametr λ można zinterpretować jako czas po którym zginie
osobników.

Parametry	parametr skali (liczba rzeczywista) parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta

8) Rozkład beta - w statystyce i teorii prawdopodobieństwa ciągły rozkład prawdopodobieństwa dany funkcją gęstości zdefiniowaną na przedziale [0,1] wzorem

=

gdzie α, β > 0 są parametrami rozkładu, zaś c_α,β jest pewną stałą zależną od α i β.

W specjalnym przypadku, kiedy α = β = 1, rozkład beta przyjmuje postać standardowego rozkładu jednostajnego.

Momenty zwykłe zmiennej o rozkładzie beta wynoszą:

.

Rozkład beta
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	α > 0 parametr kształtu (liczba rzeczywista) β > 0 parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa

9) Rozkład Erlanga - ciągły rozkład prawdopodobieństwa, związany z rozkładem wykładniczym i rozkładem gamma. Rozkład Erlanga został opracowany przez A. K. Erlanga do szacowania liczby rozmów telefonicznych, łączonych jednocześnie przez operatora w ręcznej centrali telefonicznej. Później uwzględniono również czas oczekiwania w kolejce. Obecnie rozkład ten znalazł też zastosowanie w teorii procesów stochastycznych.

f(x) =

k = 1: rozkład wykładniczy

Rozkład Erlanga
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	parametr kształtu (liczba całkowita) częstość (liczba rzeczywista)
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa

---