08 (4)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

x¹ + 10 = t¹ 3x^:dx =

x^:dx =

2 r ₂ ,    2 3    _    2-J(x1 + 10)    „

= — [r<# = —i + C = —S-i-^-+ C

•? J    O    Q

461

JW*’ + 10* = bj-’^ = 2 idt

2 di

47/ f ^xdx _ ^J + 1

X" = t 2xdx = dl

xdx=*-2

1    _r di i    ..i    i _

2    ^J f² + I 2    2    ^

Jsin¹ xdx= jsin\vsinjrćZv= J(l-cos² ,v)sinx<iv= Jsinxc£v— Jcos² *sin.vd!r=

=-cosc-

cosx=t -sinxdx=di

tj,    / _    coś* _

=-cosr+ rdif=-coaH—+C=-cosc-\-+C

J    t    t

49/

5x~dx

jr¹ =t

dt

3x²dx = dt = 5 f _r-_- = — f    —=-arcsin/+C = -arcsinjc¹ +C

2 i dt x dx = —

Całkowanie przez podstawienie to jedna z najważniejszych metod całkowania. Stosujemy ją wówczas gdy zastosowanie nowej zmiennej dla fragmentu wyrażenia podcałkowego upraszcza całkę. Nie ma niestety ogólnych przepisów kiedy i jak tego dokonać. Umiejętność doboru odpowiedniego podstaw ienia nabywa się drogą wprawy. Z całą pewnością metodę tą możemy zastosować gdy licznik ułamka podcałkowego jest pochodną mianownika. Korzystamy wówczas ze wzoru:

(1.22)

rf(x)dx ^J f(x)

Całkowanie przez części stosuje się wówczas, gdy pod całką występuje iloczyn funkcji algebraicznej lub przestępnej. Całkowanie przez części odbywa się według wzoru:

(1.23)    jm/v = uv- jvdu

przy czym jako funkcję u, przyjmuje się funkcję, której różniczkowanie upraszcza wyrażenie podcałkowe, a za dv tę część wyrażenia podcałkowego, którego całka jest znana lub może być łatwo wyznaczona.

PRZYKŁADY CAŁKOWANIA

50/

Jxsin xdx =

= -x cos x + sin x + C

u = x    du = dx

dv = sin xdx v = - cos x

= —x COS X +

jcosxdx =

51/

J x² cos xdx =

u = x    du - 2 xdx

dv = cos xdx v = sin x

= x² sin x - 2 J x sin xdx =

= x~ sinx + 2j:cosA:-2sinx + C

(Dla obliczenia całki (51) wykorzystano całką (50)).

52/

53/

jxe 'dx = fx³e‘dx =

u = x du = dx dv = e‘ dx v = e¹

u = x

= xe

du = 3 x² dx

¹ - fe‘dx = xe^x -e' +C = x³e^x - 3 fx*e^xdx =

dv = e^x dx v = e^x

= x³e^x - 3(x ²e¹ -2 \xe‘dx) =

= x³e^z - lx¹e‘ + 6 (xe‘dx = x³e‘ - 3x^ze^r + ól ^u~^{x du} *** ₌

¹    |dv=e^xdx    v = e‘

= x³e^x - 3

dv = e' dx

v = e

= x³e^x -3x²e‘ +6xe‘ -6 je‘dx = x³e^x -3x^łe* +6xe^x -6e^x +C

1

Całkow anie przez części