13077 str119 (5)

$11. ODWZOROWANIA KONFOREMNE 119

w górną półpłaszczyznę płasz-

w górną półpłaszczyznę całą Zi = (1 + 0 z punktem z₂ =

> 0<Rez<Ji?

współrzędnych zawarte w pasie

uje pierścień zawarty między Określić wartość R. uje pierścień zawarty między zny 1<M</?. Wyznaczyć R.

. Wskazówka: por. zad. 11.5.

2. w = -i-

Odpowiedzi

1. w =* Ąiz+(l—fi). Wskazówka: por. zad. 11.4. z— 1 z+1

3. w =-. Wskazówka: szukać przekształcenia homograficznego. Por. zad. 11.6.

1—z

2z-l

4. a) w = i-, b) w = —iz. Wskazówka: por. zad. 11.7.

2—z

z—i -

5. w = i-. Wskazówka por. zad. 11.8.

z+i

6. Na obszar będący półpłaszczyzną na lewo od osi v (rys. 1.41). Wskazówka: jeśli punkt z opisuje górny półokrąg, to Argiv = Arg(z-1)-Arg(z+1) = i punkt odpowiedni w porusza się po dodatniej półosi v, przy czym punktowi +1 odpowiada punkt 0, punktowi + i — punkt i. Gdy punkt z opisuje dolny półokrąg, wtedy Arg w = —%n.

1| = 1 przechodzi w kardioidę oraz pole S jej wnętrza.

ka <0,/> przy odwzorowaniu

linek ę koła jednostkowego

z biegunem w punkcie z₀ = oo. reena dla koła |z|<r z bie-

i biegunem w punkcie z₀ = 0. |z|<r z biegunem w punkcie

7. w

. ITH.

V z—4/

Wskazówka: por. zad. 11.11.

8. w = Vz²+a². Wskazówka: funkcja^ = z² odwzorowuje dany obszar płaszczyzny (z) w płaszczyznę (£) wzdłuż cięcia Im£ = 0, Re O— a², funkcja T- C+a² odwzorowuje płaszczyznę (£) z cięciem lm£ = 0, Re£>— a¹ w płaszczyznę (T) z cięciem wzdłuż dodatniej osi rzeczywistej; funkcja w = yff przekształca płaszczyznę (T) z cięciem wzdłuż dodatniej osi rzeczywistej w górną półpłaszczyznę zmiennej (w).

4z*+ 17z² + 4

-. Wskazówka:funkcja £

9. w —

2(z²+1)

■*H)

odwzorowuje półokrąg na

odcinek, nie zmieniając kształtu pozostałych części brzegu obszaru (rys. 1.43), funkcja T = C² przekształca obszar zakreskowany (rys. 1.43) na płaszczyznę zmiennej (T) wzdłuż