56513 str111 (5)

$11. ODWZOROWANIA KONFOREMNE 111

2 = -24).

zaś w punkt w = co. Załóżmy w = 0, a punkt z₂ = x₂ = 0 la będzie postaci

Podstawiając równość (3) do wzoru (2) otrzymujemy, że szukana funkcja homogra-ficzna, realizująca żądane odwzorowanie, ma postać

(4)

w — e

,z+ 24 3z- ’

gdzie a to dowolna liczba rzeczywista.

Przyjmując we wzorze (4) w miejsce z dowolny punkt okręgu \z— 8| = 16, otrzymujemy promień okręgu wewnętrznego koncentrycznego pierścienia kołowego. Na przykład dla z — 24 otrzymujemy ze wzoru (4)

M = y.

Zatem promień okręgu wewnętrznego koncentrycznego pierścienia kołowego wynosi

Uwaga. Rozpatrując przypadek, gdy w = 0 dla z = 0 oraz w = oo dla z = —24. otrzymujemy w sposób zupełnie analogiczny drugie rozwiązanie

(5)

w — e

i<x

2 z

z+ 24’

gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą.

lanych okręgów, przechodzi dem obrazów tych okręgów, Sgów na zewnętrze odpowied-

wobec tego promień obrazu r-8| = 16. Zgodnie z warun-tak dobrać, aby dla punktów nkt z = 12, leżący na okręgu

y

Zadanie 11.14. Znaleźć pole obrazu kwadratu 0 <x< 1, 0 <y< I i długość jego brzegu przy odwzorowaniu w — z².

Rozwiązanie. Aby znaleźć pole S obrazu kwadratu

r0<jc<l,

Z> =

(.0<y<l

stosujemy wzór

(1)    S = Hl/'(z)|²dxrfy.

D

W naszym zadaniu /(z) = z², skąd mamy kolejno

f (z) = 2z,    |/'(z)| = |2z|,    |/'(z)| =,2vG?T7.

Wobec tego zgodnie ze wzorem (1), mamy

S = JJ 4 (x² + y²)dxdy = J [f4(x²+y²)dx]dy = f.

D    0    0

W celu obliczenia długości L brzegu obrazu kwadratu D stosujemy wzór

(2)    L = ]\f [z(/)] z^r(OI dt,

-    b

gdzie z = z(/),    b> jest równaniem brzegu obszaru D.