str101 (5)

$11. ODWZOROWANIA KONFOREMNE 101

“wistej Ou kąt (p = -\n oraz

W

LL

lub

O)

w+1    z —1 1 + i

= +■

2 w    z —i 2

Rozwiązując równanie (1) względem w, mamy

(2)

z —i

w =

0, wobec tego

)dwzorowujące okrąg |z| = 1 dały punkty —1,0, 1 na osi. przekształcenie określone jest I, w₃ = 1 oraz z₃ = 1, z₂ = i,

Wzór (2) określa szukane przekształcenie homograficzne.

Zadanie 11.6. Znaleźć przekształcenie homograficzne odwzorowujące okrąg |z| = 1 na oś rzeczywistą, aby punktom —1, +1, i okręgu odpowiadały punkty oo, 0, 1.

Rozwiązanie. Zgodnie z uwagą do twierdzenia 7 ze wzoru (11.6) wynika, że szukane przekształcenie określone jest wzorem

1 1

O)

z,-z,

w—w₂ w₃ —w₂ z —z₂ z₃ —z₂'

gdzie

(2)

w₂ = 0, w₃ = l, -J = -1, z₂ = +1 Uwzględniając równości (2) we wzorze (1), mamy

1    1 z + 1 i+1

w 1 — 0 z — 1 i—1 ’ 1 (z + 1) (i-1)

w

(z-1) (i + 1)’

z, = i.

(3)

(z — 1) (1 + i)    — 2i(z — 1) .1-z

w = -—:—- — ———--= i -

(z + l)(-l + i) 2(z +1)    1 + z *

Wzór (3) określa szukane przekształcenie.

Zadanie 11.7. Znaleźć funkcję w — /(z), która odwzorowuje konforemnie koło jednostkowe w siebie i taką, aby

(1)

m = 0,    Arg/'(i)=0.

Rozwiązanie. Wiadomo (por. zad. 11.3), że funkcja/(z), która odwzorowuje konforemnie koło jednostkowe w siebie w ten sposób, że punkt a, gdzie |a| < 1, przechodzi w punkt w = 0, jest homografią postaci

(2)

/(z) = e"* —

z —a

az — 1 ’

gdzie (p oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.

W rozważanym przypadku mamy a = Wobec tego wzór (2) przyjmuje postać

/(z) = e'-

iz-1