16179 s106 107

106

2. Funkcja jest dana w postaci parametrycznej

x = x(t), y = y(t), t£[a,(}\.

Pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót tej funkcji dookoła osi Ox jest dane wzorem

___

A = 2?r / y(t)y/[x'(t)]² + [y'(t)]²dt

J Ct

przy założeniu, że y > 0, oraz funkcje x' i y' mają ciągłe pochodne w rozpatrywanym przedziale.

Obliczmy pochodne funkcji x i y względem t :

x' = 21, y' = 1 - t²,

zatem

(x')² + (_y'f = 4t² + (1 - t²)² = 4t² + 1 - 21² + t⁴ = (t² + l)². Stąd otrzymamy

Obliczyć pola powierzchni brył obrotowych powstałych przez obrót dookoła osi Ox krzywych:

1. y = 6x, x e [0,1]    2. y — V2x, x € [0,4]

x³

3. y = —, xe[-l,l]    4. y - sina:, x € [0,7r]

5. y² - 4 + x, x £ [—4,2]    6.y = e~^x, a:e[0,ln2]

7.    y = e^-^

8.    asteroidy: a: = a cos³1, y — a sin³1, t € [0,7r], a > 0

9.    cykloidy: X = a(< - sint), y = a(l - cos t), a>0

io. * = i*³, y=\t², <e[o,2]

11. x = Rcost, y = Rsint, R > O, i € [0,7r]

12. x = e‘sini, y — e^łcost, t 6 [O,

13.    Obliczyć pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej y — 4 — |t², x = |t³, łączącego punkty jej przecięcia

z osiami układu współrzędnych.

14.    Obliczyć pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót dookoła osi Ox luku tangensoidy y = tga; pomiędzy punktami: Pj(0,0) i , !)•

Odpowiedzi

1. 6ttv/37 3.    — 1]

5.    fTT

6.    TT [y/2 + ln(l + y/2) - & - łn (i + ^)]

7.    2tt [y/2 + ln(l + V2)]

O 52 _

2. _T?r

4. 27r[v^/2 + ln(l + v/2)]

a 12 _„2 o. -g-7ra

10. 7r[f \/5 + n] 12. - 2]

14. [^5 - %/2 + ln    7r