167(1)

równania linii ograniczających ten obszar: y = —2, x = 2, y = X²,

y = 4.

Linie te ograniczają odcinek paraboliczny O AB, symetryczny względem osi rzędnych (rys. 158).

Zmieniamy porządek całkowania tak, aby najpierw całkować względem x, a potem względem y. Granice całki wewnętrznej znajdujemy przez rozwiązanie względem x równania paraboli x = — yy i x = yy. Granice całki zewnętrznej: y = 0 i y = 4 znajdujemy jako najmniejszą i największą wartość y w całym obszarze O A B. W konsekwencji

\ dx I f(x,y)dy = f dy J f(x,y)dx -2    *2    o __vr

2) W przykładzie tym obszar całkowania jest ograniczony prostymi y — 1, y = 3; x = 0, x — 2y i przedstawia trapez ABCD (rys. 159).

y

y

Ol

Rys. 158

X

X

Rys. 159

o

Przy całkowaniu w odwrotnym porządku, najpierw' względem y, a potem względem x, obszar ABCD trzeba podzielić prostą BU, równoległą do osi Oy, na dwie części, gdyż dolna granica obszaru składa się z dwóch części

AB i BC, mających różne równania : y = 1 i y = y .

Wobec powyższego przy zmianie porządku całkowania również całka I_z będzie sumą dwóch całek

2

3

6

3

O

2 xl2

Chcąc całkować w odwrotnej kolejności (najpierw względem x) obszar ABCD trzeba podzielić prostymi BB_V i CCi równoległymi do osi Ox na trzy obszary, tak aby lewa i prawa granica każdego z tych obszarów była opisana każda jednym równaniem.

W obszarze Ci PC, zawartym w pasie poziomym między prostymi y — — — j2 i y= — ) 3, lewa linia graniczna Ci P ma równanie x = —1/4—y¹, a linia graniczna PC (prawa) ma równanie x — j/4— y¹.

W obszarze BCiCBi, zawartym w pasie poziomym między prostymi y — — [ 3 i y = — 1, lewa linia graniczna jest określona równaniem x — = — y 4—y¹, a prawa — równaniem x = 1.

W obszarze ABB\D, zawartym w pasie poziomym między prostymi y= — 1 i y = 0, równanie lewej linii granicznej ma postać w = — j 3, a równaniem prawej linii granicznej jest x = 1.

Zatem przy zmianie porządku całkowania całka h będzie równa następującej sumie trzech całek

-V3    l'4-J*

Ii = ) dy | vdx+ J dy j vdx-j- j ^cb J ^vdx

-i i

-2

-V3 -V'4-y2

-1

-V'3

797. Obliczyć całki iterowane:

2 0 5    5-x

1) J dx f (x¹+2xy)dy 2) J dy j (x+2y)dx

0 o 1 v u

3) | dv f e^v du    4) j dx J ]/4-J-x-j-y dy

oo    oo

-798. Obliczyć całkę podwójną f/ (x+y)dxdy, gdzie obszarem cał-

D

kowania D jest trójkąt ograniczony prostymi: 1) x = 0, y = 0, w+y = 3;

22 Metody rozwiązywania zadań 337

1

jc = a, y = 0, y = x.