234(1)

1050./(;c) = cos*; j^O, --J. Korzystając z otrzymanego rozwinięcia obliczyć sumę szeregu

(2k-l)(2k+l) ⁺ ■"

l-3⁺3-5    5 • 7 ⁺    (2!c-l)(2k+l) ⁺

Na podstawie tego rozwinięcia obliczyć sumy szeregów:

1052.    Funkcję y — 1 rozwinąć w przedziale (0, /) w niepełny szereg Fouriera, zawierający tylko sinusy.

1053.    Funkcję

x, gdy 0 < x < 1

2—x, gdy 1 ^ x < 2

rozwinąć w niepełny szereg Fouriera: a) według cosinusów, b) według sinusów.

.    § 8. Całka Fouriera

Jeżeli funkcja f(x) jest bezwzględnie całkowalna na całej osi liczbowej,

+ CO

tj. gdy całka J j/(x)| dx jest zbieżna, i jeśli funkcja ta w każdym skończonym przedziale spełnia warunki Dirichleta, to można ją przedstawić za pomocą całki Fouriera

f(x) =    { [/4cosxx-L-iJsin ccc] dot

(O

o

gdzie

Ten całkowy wzór Fouriera powstaje z szeregu Fouriera dla funkcji f(x) w przedziale (—/, /), gdy / -> +oo.

Całka Fouriera dla funkcji f(x) jest zbieżna do tej funkcji wszędzie, z wyjątkiem, być może, punktów nieciągłości x_k, gdzie (tak jak i szereg Fouriera) całka ta ma wartość

4-[ Hm f(x)+ lim /(*)]    ^ł

^Je-Wt'jt+⁰ j

w

W odróżnieniu od szeregu Fouriera, za pomocą którego można rozłożyć

nn

funkcję na drgania harmoniczne o częstotliwości — (» = 1, 2, 3, ...)

zmieniającej się w sposób skokowy (dyskretny), za pomocą całki Fouriera można rozłożyć funkcję na drgania harmoniczne o częstotliwości a zmieniającej się w' sposób ciągły, odO do -foo.

Dla funkcji parzystej lub nieparzystej całka Fouriera ma prostszą postać. Jeżeli /(—x) = f(x), to

+ 00    + co

f(x) — —( cos axda | f (t) cos atdt 71 J    J

0    0

Jeżeli natomiast/(—x) = —-/(*), to

+ 00    + co

2 *    C

f(x) = -— j s'maxda | f{t)smatdt    (3)

⁷¹ ó    o

Gdy funkcja f{x) jest określona tylko w przedziale [O, +co), to przedłużając ją w różny sposób na sąsiadujący z lewa przedział można tym samym przedstawić ją za pomocą różnych całek Fouriera. Zwykle funkcje takie przedstawiamy za pomocą całek Fouriera wg wzoru (2) lub wg wzoru (3), przy czym w pierwszym przypadku przedłużamy ją parzyście, a w drugim — nieparzyście na przedział (— oo, 0).

Na podstawie wzorów Eulera (patrz § 6), ze wzoru (1) otrzymujemy następującą zespoloną postać całki Fouriera

+ oo    +oo

/(*)= ■— j e~^hxda J f(t)Ć*'dt    (4)

1054. Przedstawić za pomocą całki Fouriera następujące funkcje:

f—e^x, gdy x < 0 \e~^x, gdy x > 0

!) 9⁵(*) =

471