24270 scan

Przykład 7.2

Dla rury obciążonej jak na rys. 7.2 narysować wykresy momentów skręcających i kątów skręcenia. Obliczyć w stopniach wartość maksymalnego kąta skręcenia. Średnica rury D = 12 cm, grubość ścianki g = 5 mm, G = 80 GPa = 8-10⁷/dV/m², m₈ = AkNmim, M_s - 2kNm, a = 0,5m, b-2m, c = 0,5m.

Rys. 7.2

Przyjmujemy początek układu osi x na swobodnym końcu pręta (z prawej strony).

0 ź x < 0,5

M,(x)=0, f^0dx /-

⁰⁼JgT^=c’'

0,5 £ x ś 2,5

M_s (x) =    (x - 0,5)= 2 - 4(x - 0,5) = 4 - 4x,

©= r(4-4x)ofx 4x-2x* _c GJ₀ GJ₀ ²

2,5 <x<, 3,0

M_#(x)=JW, -m, -2 = 2-4-2 =-6,

®=J

-6dx -6x

gjT“gT^+U3

•+C₃.

State całkowania wyznaczamy z następujących warunków;

Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy;

7

^ci -

C

² GJ '

x = 0,5m	©' =©^p	_4-0,5-2-(0,5)’ ^C’" GJ„ °^2‘
x = 2,5m	0 u 0 T3	4Z5-2-(Z5f -6-2,5 c GJ0 ^+Cj- GJ0 ^+C-
x = 3m	© II O	-^6'^3+c,=o.

Równania na kąt skręcenia w poszczególnych przedziałach opisują związki; 0^x<0,5    0,5 < x £2,5    2,5 < x ś 3,0

0 =

0 =

4x-2x² +5,5 GJ„

0 —

6x+18

GJ„

Wykres momentów skręcających pokrywa się z wykresem pochodnej kąta skręcenia, zatem tam, gdzie moment skręcający jest równy zeru, kąt skręcenia jest ekstremalny. Moment skręcający przyjmuje wartość zero w przedziale 0,5<x<2,5, a więc:

M_s(x) = 4 - 4x = 0,-»x = 1,

4-1-2-1 + 5,5    7,5

GJ_n

GJ„

Biegunowy moment bezwładności:

J_o = 3.(d⁴ -d^Ą) = ^(12⁴ -11⁴) = 598cm⁴ = 5,98 • 1O"*m^Ą,

ł    Oal

0 =

7,5

8 10⁷-5,98-10'

= 0,0157 rad

0,0157-^ = 0,9^£

Kąty skręcenia można również wyznaczyć w prostszy sposób, bez każdorazowego całkowania równania momentów skręcających.