27249 probabilistyka

23.01.2008

II KOLOKWIUM Z METOD PROBABILISTYCZNYCH - ID 5.3

Zadanie 1. Dana jest zmienna losowa A' o gęstości prawdopodobieństwa f(x) — igl.

a)    Wyznaczyć stalą n.

b)    Wyznaczyć dystrybuautę zmiennej X.

c)    Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej X, o ile istnieje.

d)    Wyznaczyć medianę i modę.

Zadanie 2. Niech g będzie wypukłą funkcją borelowską, a X zmienną losową o skończonej wartości oczekiwanej. Udowodnić, że JŻgĘjC) > g(EX).

Zadanie 3. Dana jest dwuwymiarowa zmienna losowa (A, Y) o funkcji prawdopodobieństwa

	0	1
-1	3 c	2c
0	II	c
1	c	c

a)    Wyznaczyć stałą c.

b)    Wyznaczyć macierz korelacji.

c)    Zbadać, czy zmienne X i Y są niezależne i czy są nieskorelowane.

d)    Wyznaczyć krzywą regresji pierwszego rodzaju zmiennej X pod warunkiem Y.

e)    Obliczyć F{§, —I), gdzie F jest dystrybuantą zmiennej (X, Y).

Zadanie 4. Niech (fi,.F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną taką, że fi =< 0,1 >, T jest rodziną wszystkich podzbiorów borelowskich fi, P jest miarą probabilistyczną określoną wzorem P(< a.,b >) = b — a dla dowolnego podzbioru < a,b >6 F, a < b.

Niech X_n(u>) —

3, w £< 0, 11 >,

I 0, w € (p-, 1 >

Pokazać, że ciąg (X_n) jest zbieżny do zera według prawdopodobieństwa. Czy ten ciąg jest zbieżny do zera według rozkładu? Odpowiedź uzasadnij.

Punktacja

Nr zadania	la	lb	lc	ld	2	3a	3b	3c	3d	3e	4	razem
Liczba punktów	i	2	2	4	|	1	3	2	3	1	5	30