33570 Matem Finansowa1

Kapitalizacja zgodna z dołu 31

Przykład 2.4. (por. przykład 1.9)

Po ilu latach kapitał początkowy Ko=200zł wzrośnie do wartości 1100 zł? Przyjmujemy zasadę oprocentowania złożonego, kapitalizację z dołu oraz roczną stopę procentową i=20%.

Dane z przykładu 2.4: K_o=200 zł; i=0,2; K,=1100 zł. Ile wynosi czas t=?

Ze wzoru (2.9) wyznaczymy zmienną czasową:

^ln _ InK, - lnK₀ ln(l + i)^_ ln(l + i)

(2.11)

Podstawiając dane z przykładu 2.4 do wzoru (2.11), mamy:

ln 1100 - ln200 ln(l + 0,2)    ’

Dla danych z przykładu 2.4 i zasady oprocentowania złożonego kapitał początkowy K_o=200 zł wzrośnie do wartości 1100 zł po upływie 9,35 roku.    4*

W celu porównania procentu złożonego z procentem prostym rozważymy własności czynnika oprocentowującego procentu złożonego. Jak wiemy, w ogólnym przypadku czynnik ten ma postać (por. wzór 2.9):

(1+ i)* gdzie i >0; t >0.

Stosując do tego czynnika wzór Maclaurina (por. aneks A.5) otrzymujemy równanie:

(1+i)¹ =l + it+ ^ ^i²(l + ai)^{1 2} gdzie:oce (0,1)

Z przyjętych założeń wynika, że (1+ai)>0, co wobec wyżej zapisanego równania oznacza, że znak różnicy pomiędzy procentem złożonym i procentem prostym zależy od znaku (sgn) paraboli y = t(t-1).