45599 str131 (4)

§ 2. FUNKCJA BESSELA 131

§ 2. FUNKCJA BESSELA 131

ami równania J_v(y) = O, to ile (O, o) i zachodzą następu-

i    m n,

i    m = n

ami równania:

0    ,a) i zachodzą następujące

dla    m # n,

1 j dla    m = n.

:owego

U₀ar²

^T~x²J₂(x) = 7k

(1)

Rozwiązanie. Mnożymy obie strony zależności (1) przez    a następnie cał

kujemy w przedziale (0, a). Na podstawie wzoru (2.24) otrzymujemy

Ze wzoru (2.5) mamy Ji(y_k) = —J₂(y_k), możemy zatem napisać

dr.

Obliczamy obecnie całkę występującą w powyższym wzorze korzystając ze wzoru (2.8) r

po podstawieniu y_k- = x a

j rf(r)J₁    |^r2jl{j^k~j^{dr =}    J*²Ji(x)dx =

<*7>

mamy zatem

2 U₀a

ykJzijk)'

Zadanie 2.3. Wyznaczyć ogólne rozwiązanie równania różniczkowego

$-***'-•

isać ogólne rozwiązanie rów-

runek u'(0) = 0 jest spełniony, item

iu na szereg Fouriera-Bessela

m = o.

Rozwiązanie. W celu sprowadzenia danego równania do postaci równania różniczkowego Bessela wykonujemy podstawienie x = ae“ i wówczas mamy

dy dy . _u . dy — = —aie = ix— dt dx    dx

......    ....    ₂ d²y dy

= i — aie + ix—-rlae = — x -z~,—x-

d y .dy . „ d y. _lt

-rr = 1 — aie 4" tx~ 2" dt dx    dx²

dx²    dx '

zatem równanie (1) przybiera postać

d²y 1 dy

(2)

*?⁺rs^+j’⁼⁰-

Rozwiązaniem ogólnym równania (2) jest funkcja (2.18)

y = AJ₀(x)+BY₀(x), zatem szukana funkcja ma postać

y — AJ₀(ae^lt)+BY₀(ae‘').

9*