wyrażenie analityczne uzyskujemy po przekształceniach
Sx{u)= lim £[^(0))]=
T-> 00
lim—E
t-** 2T
T T
-T-T
7 T
■T-T
T T
= lim^ \\R„{tvh)e-^dtxdt7
-T-T
zakładając stacjonamości sygnału losowego można wykazać, źe
zachodzą więc następujące, bardzo istotne związki dla sygnału losowego
dla sygnałów ergodycznych funkcje (co) są identyczne dla wszystkich realizacji,
można ograniczyć się do rozpatrywania tylko jednej realizacji (odpada więc konieczność uśredniania w zbiorze realizacji), zatem gęstość widmowa mocy sygnału ergodycznego
Sx((o)= lim—|Gxr(co)|2 = lim —
JxT(ty**dt
dla sygnałów ergodycznych gęstość widmowa mocy jest granicą przy T -» 00 mocy chwilowej przypadającej na przedział pulsacji dco.
ponieważ funkcja autokorelacji Ry(t) jest parzystą względem argumentu t to odpowiadająca jej gęstość widmowa mocy Sx (co) jest funkcją parzystą argumentu co