4

38

1

Inny wariant metody eliminacji polega na wykonaniu takiego ciągu przekształceń na macierzy C, aby po n krokach algorytmu n pierwszych kolumn macierzy C„__x tworzyło macierz jednostkowa E, czyli macierz diagonalna fmetoda Gaussa—Jordana). Rozwiązanie układu równań znajduje się wówczas w n+1 kolumnie macierzy C„__x. Wzory, za pomocą których dokonujemy przekształceń macierzy C, sa identyczne ze wzorami prezentowanymi przy omawianiu algorytmu numerycznego poszukiwania macierzy odwrotnej, z tym że macierz rozszerzona C zawiera teraz n+1 kolumn (macierz główna układu równań i n+ 1-sza kolumna wyrazów wolnych, podczas gdy macierz B we wzorze (1.13) składała sic z macierzy A i macierzy jednostkowej E).

Należy zwrócić uwagę na fakt, że metoda eliminacji Gaussa możemy rozwiązywać równocześnie kilka układów równań, jeżeli tylko macierz główna tych układów pozostaje taka sama. Wektor)' prawych stron tych układów zapisujemy w kolejnych kolumnach macierzy C i na tak utworzonej macierzy dokonujemy ciągu przekształceń prowadzących do układu trójkątnego lub diagonalnego. Na przykład, poszukiwanie rozwiązania trzech układów równań o wymiarach 3x3

A-X = B , AY = D , AZ = F,    O-⁴⁸)

odpowiada rozwiązaniu następującego równania macierzowego

^all ^ai2 ^ai3		*1 >1 *1		^bi ^di A
°2l °22 °23	•	x2 y2	=	h ^d2 f2
°31 ^a32 ^a33		^x3 y3		. ^b3 ^d3 fs .

(1.49)

dla którego macierz C ma postać

	^all	^ai2	^a!3	h	^di	fi
c =	^fl21	°22	^a23	h	d2	fz
	.*31	^a32	^a33	^b3	d3

(1.50)

Macierz tę przekształcamy w ten sposób, aby pierwsze 3 kolumny tworzyły macierz jednostkową i wówczas rozwiązania kolejnych układów (wektory X, Y i Z) pojawią sie w kolumnach 4, 5 i 6.

» Przykład 1.10
Układom równań
+ 2x2 = 3	II ?S + ?s
*1 ~ *2=0	>1 - >2 = ^1
odpowiada macierz C w postaci	12 3 4
C =	1-1 0 1

Zj + 2z₂ = 5 Zi - z₂ = -1

którą przekształcamy w następujący sposób (por. przykład 1.5)

10 12 1 0 1112 ’

1    2 3 4    5

1-1 0 1-1

1    2    3    4    5

0 -3 -3 -3 -6

czyli

X =

, Z =

1

2

W tym miej scu można wyjaśnić poprawność prezentowanego w podrozdziale 1.1 algorytmu odwracania macierzy A. Wektory wyrazów wolnych w równaniach (1.48) przyjmujemy w następujący sposób

	1		0		0
B =	0	, D =	1	, F =	0
	0		0		1.

czyli będziemy rozwiązywać równanie macierzowe w postaci

^aU ^ai2 ^al3		*1 >1 ^Z1		1 0 0
^a2l ^a22 ^a23	•	H h	=	0 1 0
^a31 ^a32 ^a33		xi y3 z3		0 0 1

(1.51)

Z definicji macierzy odwrotnej wynika, że otrzymane rozwiązania X, Y, Z odpowiadają kolumnom macierzy A^-1. Innymi słowy, poszukiwanie macierzy odwrotnej dla rozważanej macierzy A o wymiarach 3x3 sprowadza się do wykonywania ciągu przekształceń na macierzy C

^an	^an	^a13	1	0	0
^a2\	°22	^a23	0	1	0
°31	^a32	^a33	0	0	1

(1-52)

i w końcowym etapie w miejscu macierzy jednostkowej pojawi się macierz odwrotna A^-1.

Omówione odmiany metody Gaussa dotyczyły rozwiązywania liniowego oznaczonego układu równań. Opisując kolejne warianty eliminacji, zakładano, że na głównej przekątnej macierzy A nie występują elementy zerowe. Nie jest to jednak założenie ograniczające zastosowanie tych metod. W przypadku gdy na głównej przekątnej macierzy A występują zera, należy odpowiednio zamienić wiersze macierzy rozszerzonej C (co jest równoważne z zamianą kolejności równań w rozwiązywanym układzie) w ten sposób, aby nie pojawiły się zera na głównej przekątnej macierzy A. Operacja ta jest zawsze wykonalna ze względu na nieosobliwość macierzy A. Podobnie możemy zamieniać kolumny w macierzy głównej A, pamiętając jednak o tym, że takiej zamianie musi towarzyszyć zamiana niewiadomych w układzie. Na przykład, jeżeli zamienimy kolumnę pierwszą z kolumną drugą, to musimy również zamienić niewiadomą z niewiadomą x₂.