53770 scan 5 (5)

265

MAGNETYCZNY POTENCJAŁ WEKTOROWY

Przy tym warunku na potencjał wektorowy A prawo Ampere'a (5.60) przybiera ać

(5.62)

to nic innego jak równanie Poissona. a właściwie trzy równania Poissona. jedno dla jej współrzędnej kartezjańskiej.¹⁴ Zakładając, że J dąży do zera w nieskończoności, jemy zapisać rozwiązanie w postaci

(5.63)

prądów liniowych i powierzchniowych

li prąd nie dąży do zera w nieskończoności, musimy znaleźć inny sposób wyznaczę-potencjału wektorowego A; kilka zagadnień tego rodzaju można znaleźć w zadaniach tońcu tego rozdziału i w przykł. 5.12.)

Trzeba powiedzieć, że potencjał wektorowy A nie jest tak użyteczny jak poten-skalarny V. Z jednej strony, wciąż jest to wektor i choć łatwiej posługiwać się naniami (5.63) i (5.64) niż prawem Biota-Savarta, to wciąż musimy zajmować się dowymi wektora. Przyjemnie byłoby posługiwać się potencjałem skalarnym

B = -VI/,    (5.65)

ak jest to sprzeczne z prawem Ampere’a, ponieważ rotacja gradientu zawsze znika, gnetostatyczny potencjał skalarny może być użyty tylko w obszarze jednospójnym, lym od prądów, ale jako narzędzie teoretyczne ma ograniczone znaczenie. Patrz 5.28.) Co więcej, ponieważ siły magnetyczne nie wykonują pracy, potencjał skalarny e ma prostej interpretacji fizycznej jako energii potencjalnej jednostkowego ładunku, ńektórych przypadkach może być interpretowany jako pęd jednostkowego ładunku.¹⁵) 10 wszystko, jak zobaczymy w rozdz. 10, potencjał wektorowy ma ważne znaczenie jtyczne.

^l4We współrzędnych kartezjańskich AA = AA*x + AA_vy + AA_:ź, a zatem równanie (5.62) redukuje ) A Aj — —p_QJ_x, AA, = —HnJ_v oraz A A_: = —n_nJ_;. We współrzędnych krzywoliniowych wektory <stkowe same w sobie są funkcjami położenia i muszą być różniczkowane, tak więc nie można ać np. AA,. = —hqJ,. Najbezpieczniejszy sposób obliczenia laplasjanu wektora we współrzędnych wiliniowych polega na posłużeniu się tożsamością AA = V(V ■ A) — V x (V x A). Należy pamiętać , że obliczając całki, takie jak (5.63) we współrzędnych krzywoliniowych, najpierw trzeba J zapisać spółrzędnych kartezjańskich. (Patrz paragraf 1.4.1.) ⁱ³M. D. Semon i J. R. Taylor, Am. J. Phys. 64. 1361 (1996).