57376 Obraz9 (102)

a) Powiązanie czynności z czynnościami do niej odwrotnymi.

W tradycyjnej dydaktyce matematyki w niższych klasach szkoły podstawowej starano się zachować ogólną zasadę izolowania pewnych operacji na pierwszym etapie zaznajamiania z nimi dzieci, aby się im te operacje „nie myliły”. Na przykład najpierw stosowano pojęcie ułamka jako operatora w ćwiczeniach typu: „wyznacz dany ułamek z a”, potem osobno w ćwiczeniach typu Jakim ułamkiem b jest a”, wreszcie znowu osobno w ćwiczeniach typu: „wiemy, że dane a jest danym ułamkiem b, wyznacz b”. Zupełnie analogicznie organizowano naukę rachunku procentów' (z kolei zresztą w izolacji czasowej i często pojęciowej od nauki o ułamkach). Ćwiczenia obejmowały kilka kolejnych etapów: wyznaczanie procentu danej liczby, obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, obliczanie liczby, gdy wiadomo, jaką liczbą jest jej dany procent, Dopiero po przerobieniu trzech odrębnych cykli ćwiczeń przystępowano do ćwiczeń „różnych”. Wystarczy przejrzeć typowe tradycyjne podręczniki arytmetyki, aby dostrzec, że taki układ jest realizacją ogólnej zasady „oddzielanie” operacji, co miało rzekomo pomagać uczniowi w opanowaniu pewnych algorytmów. Rzeczywistość szkolna przeczy jednak słuszności tej zasady. Rezultatem były znane trudności uczniów i dorosłych na przykład w posługiwaniu się procentami i nieśmiertelne wątpliwości „czy pomnożyć, czy podzielić”.

Psychologiczna teoria operacji sugeruje postępowanie dydaktyczne kierowane zasadą „łączenia”, a nie „oddzielania”.

Jeżeli ułamek wprowadza się na drodze tradycyjnej jako operator na wielkościach (można to tradycyjne ujęcie poglądowe zalegalizować teoretycznie), to uczeń od samego początku powinien ułamek rozumieć tak, aby równoważności

—    A - B V_r [/l = nC a B = rnC J n

— A = B » A = ~ B    (rys. 19)

n    m

były przezeń ujmowane dwukierunkowo,

w tym znaczeniu, że informacja stanowiąca jedną stronę równoważności wiąże się bezpośrednio z informacją wyrażoną przez drugą stronę równoważności.

Podobnie w tradycyjnym nauczaniu ćwiczyło się najpierw długo mnożenie wielomianów, dowodziło tak zwanych „skróconych wzorów mnożenia”, następnie w osobnym rozdziale ćwiczono rozkładanie na czynniki wielomianów, które sprawiało- uczniom ogromne trudności.

Sprawa ta wiąże się z ogólniejszym problemem przyswajanie sobie przez uczniów twierdzeń w postaci równości tylko w jednym kierunku” z lewa na prawo”. Wzór (x + y) (x - y) = x² - y² uczeń ujmuje wizualnie

I jednokierunkowo, bo tak go czyta, motorycznie jednokierunkowo, bo tak go pisze, w sekwencji czasowej też jednokierunkowo, bo czytanie i pisanie przebiega w czasie też w określonym kierunku. Równość symetryczna pojęciowo, jako identyczność nie jest często symetryczna w praktyce dla ucznia. Aby to uwarunkowanie przezwyciężyć, trzeba od początku tego typu wzory zapisywać w dwóch kierunkach, w dwóch kierunkach je odczytywać i, co najważniejsze, równoległe je w dwóch kierunkach stosować.

Wprowadzając pojęcie pochodnej można i warto od razu na tej samej lekcji wprowadzić pojęcie funkcji pierwotnej i znowu wzory na pochodne wykorzystywać od razu w dwóch kierunkach: wyznaczanie pochodnej danej funkcji oraz podawanie przykładów funkcji pierwotnych danej funkcji (mówimy tu tylko o przykładach, bowiem twierdzenie o pełnym

245