64671 str299

I

I

299

§ 5. POCHODNE TENSORÓW

Własność 13. Tensor kowariantny krzywizny (5.39) czyni zadość następującym relacjom:

(5.40)

(5.41)

2>"    _ _ TS    __ _ 1'"

rsmn    ^Jvsrmn ’    rsmn    ^JXrsnm •>

IS    _ 1S

rsmn    mnrs »

^ rsmn "1* ^rmns “1* ^rnsm    ® *

Zadania przykładowe

Zadanie 5.1. Wyznaczyć składowe pochodnej absolutnej wektora kontrawariantnego

dx^r    ,

T' = -—- we współrzędnych sferycznych x = g, x = 0, x = </>.

dt

Rozwiązanie. Jak wiemy tensor metryczny a_mn we współrzędnych sferycznych ma składowe (patrz zad. 3.1) a_m„ = 0 dla m ^ n oraz a_n = 1, a₂₂ = g², a₃₃ = g²sin²0.

Składowe symbolu Christoffela rodzaju drugiego we współrzędnych sferycznych przyjmują wartość:

(1)

{22} --^Q' {l^} = -(,sm²0.{₃²3}.-lsin29,

a pozostałe składowe są równe zeru. Obecnie korzystamy ze wzoru (5.2)

cT^r	dr f r )	mdx*	d^2x^r f
	= —+<	. T -
	dt (m sj	dt	dt^2 1

dx^m dx* ~dt ~dt'

do którego podstawiamy odpowiednie składowe (1) symbolu Christoffela, w rezultacie czego otrzymujemy

ST¹ d²g dt dt²

, (doy .    (dęy

ST²_d²0 sin 26 (dtp\² 2 dg dO ót dt² 2 \dt) g dt dt ’

ÓT³ d²q>

dO dę 2 dg dtp

= _TT + 2ctg (?—•—■+---_r- —.

Ot dt²    dt dt g dt dt

Zadanie 5.2. Wyznaczyć składowe pochodnej kowariantnej w'ekiora kowariantnego 5V

T_r — —- we współrzędnych a¹ = g, x² = 0, x³ = (p.

ox

Rozwiązanie. Dla wyznaczenia składowych pochodnej kowariantnej wektora T korzystamy ze wzoru (5.22):

T ^dT' f^fcU ³*^V \^k\W ^r,n dxⁿ (r nj ^k 8x^rć

^rcxⁿ [r «j dx^k ’