38632 str303

5 5. POCHODNE TENSORÓW 303

Rozwiązanie. Składowe tensora a""' sprzężonego z tensorem fundamentalnym a_m„ we współrzędnych cylindrycznych wynoszą

a^mn — 0 dla m # n oraz a¹¹ = 1,    a²² = -3,    a³³ = l.

Składowe symboli Christoffela we współrzędnych cylindrycznych przyjmują wartość •|^21 — ~^r> |    ⁼    » podczas gdy pozostałe składowe są zerem.

Ze wzoru (1) po uwzględnieniu składowych tensora a^mn otrzymujemy

(3)

div E = Eh + Ej₂ + £?3,

gdzie £* = £_x = £_r, E² = a²²E₂ = -^£„, £³ = E₃ = £_z. Obecnie stosujemy wzór (5.19)

i stąd mamy

^£/2~    ~ ~dx^r+

£/³3 = £/2 =

d£³ f³1 „1

’d^^r+|1 3f^{£ +} |23

j-£² +jAlfi³ = —

[3 3j

8z

Podstawiając obliczone wielkości do wzoru (3) mamy

(4)

d£,    1

1 dE_m SE,

di^v£ = —^r+—£_r+-2-    .

dr r r oę oz

Jest to dywergencja wektora E_k we współrzędnych cylindrycznych.

Obecnie wyznaczymy laplasjan skalara U według zależności (2). Należy zauważyć, że jeżeli przyjmiemy

^Ek dx^k •

8U

(5) to

AU = div£.

Możemy zatem obliczyć A U uwzględniając zależność (5) we wzorze (4), mamy wówczas

d²u    1    cm    1    d²u    d²u

AU = —jH---——I—2* ^ 2 + TT•

dr    r    dr    r    dę>    dz