62023 wzory Page resize

Prawdopodobieństwo „sukcesu” jest równe p, gdzie oczywiście 0 < p < 1. Stąd rozkład prawdopodobieństwa dany jest wzorem

P(X = 1) = p , P(X = 0) = 1 - p .    (42)

Ważniejsze charakterystyki: E X = p, Var X = p(l — p).

Rozkład dwumianowy

Załóżmy, że mamy n niezależnych powtórzeń takiego doświadczenia losowego, które ma tylko dwa możliwe wyniki (zwane tradycyjnie porażką i sukcesem). Oznacza to, że » razy powtarzamy doświadczenie z rozkładu dwupunk-towego. Przez p, jak poprzednio, oznaczmy prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie. Wtedy prawdopodobieństwo zajścia k sukcesów w n próbach (czyli zdarzenia X = k) określone jest wzorem

P(X = fc)= {^jp^k(\-p)ⁿ-^k ■    (43)

Ważniejsze charakterystyki: E A’ = np, Var X = np( 1 — p). Tradycyjnie rozkład ten zapisujemy skrótowo Bin(n; p).

Rozkład geometryczny

Załóżmy, że wykonujemy niezależne powtórzenia doświadczenia losowego, które ma tylko dwa możliwe wyniki, aż do osiągnięcia sukcesu. Przez p oznaczymy prawdopodobieństwo zajścia sukcesu w pojedynczej próbie. Wtedy liczba wykonanych doświadczeń ma rozkład geometryczny. Niech X będzie tą liczbą prób do momentu zajścia pierwszego sukcesu. Prawdopodobieństwo zdarzenia X = k (czyli na początku nastąpiło k - 1 porażek, a potem pierwszy sukces) dane jest wzorem

P(X = k) = p(l-p)^k~^l ,    (44)

gdzie k = 0,1,... Ważniejsze charakterystyki: E X = 1 /p, Var X = (1 — p)/p²-Rozkład Poissona

Jeśli zmienna pochodzi z rozkładu Poissona, to jej rozkład prawdopodobieństwa opisany jest wzorem

P(X = k) = -e-^A    (45)

dla = 0.1,..., gdzie A > 0 jest parametrem tego rozkładu. Tradycyjnie rozkład ten oznaczamy skrótem Poiss(A). Ważniejsze charakterystyki: E X = A, Var X = A.

Rozkład jednostajny (równomierny)

Najprostszy z ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa, oznaczany zazwyczaj skrótem U [a; i]. Jego gęstość na przedziale ja; 6] opisana jest wzorem

m = r-⁵- •    (46)

b — a

Oznacza to zatem, że prawdopodobieństwo zaobserwowania wartości zmiennej z dowolnego, małego przedziału o długości dx jest stale i takie samo na całym przedziale [a; b]. Ważniejsze charakterystyki: E A" = sid: ₅ Var X = — py ■ Rozkład wykładniczy

6