66759 img442 (2)

miast g( I)    0. W takim przypadku matematycy mówią, że x₀ jest punktem nie

ciągłości usuwalnej. Natomiast w przypadku funkcji / oraz h zmiana wartości tylko w punkcie x₀ = 1 nic nam nie da. W tych przypadkach mówimy, że w punkcie nieciągłości występuje „skok skończony". Nazwę uzasadnia fakt na głego „skoku” wartości funkcji, na przykład w przypadku funkcji h następuje skok wartości funkcji od wartości -1 do wartości większych od 3.

Oczywiście prawdziwe jest następujące twierdzenie.

TWIERDZENIE 8.

Niech funkcja / będzie określona w pewnym otoczeniu U(x₀) punktu x₀. Funkcja ta jest ciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie i prawostronnie ciągła.

Spróbuj uzasadnić, że ostatnie twierdzenie jest prawdziwe,

PRZYKfAD 18.

Zbadamy ciągłość funkcji / w punkcie x₀, jeśli:

a) /(*)

V x² + 4 - 2 4

dla x ^ 0 dla x = 0

x + 1

b)/(x) =

3

x + 4 x + 2

dla x < 2 dla x > 2

i x₀ = 2.

o

t

Ad a) Mamy

k² ( V x² + 4 + 2) _ x² + 4 - 4

lim f(x) = lim -_r -= lim

x—>0    x—>0 -yj %2 Ą 2    x—>0

4-

o

= lim (V x² + 4 + 2) = 4.

x—>0    '

plMimllo 1(0)    4. Zatem istnieje lirn J'(x) i Hm /(x) ^: /(0), funkcja jest więc

llugla w punkcie x₀ = 0.

Ail l>) lym razem musimy obliczyć granice jednostronne (dlaczego?). Widać,

lim

x >2

f(x) = lim

^J v '    x->2“

X + 1 3

= 1,

lim₊ / (x) = lim

x + 4 x + 2

3

2'

NIp Mnieje lim f(x), więc funkcja nie jest ciągła w punkcie x₀ = 2 (zauważ, że ftuwH nie musieliśmy obliczać /(2)).

IHIIYKIAD18.

Spirtwdźmy, czy istnieje taka wartość parametru a (a e R), dla której funkcja / |r*.t ciągła w punkcie x₀, jeśli:

3x³ - 1 a² - a

x² + 2x - 3 x²- 1

/(*) =

dla x < 1 dla x = 1

i x₀ — 1.

dla x > 1

Obliczamy lim_/(x) = lim (3x³ - 1) = 2 oraz

lim. /(x) = lim

X >1

x->r

x² + 2x - 3 x²-1

- lim,

x->1 ⁺

₌ „ £±1

(x — 1) (x + 1)    X + 1

zatem istnieje lim /(x) i lim f(x) = 2.

Ponadto ponieważ /(1) '= a² - a, więc musi być: a² - a - 2, skąd a = -1 lub a = 2. Zatem istnieją dwie wartości parametru a, dla których funkcja ta jest ciągła w punkcie x₀ = 1.

PRZYKfAD 20.

Wykażmy, że

a)    funkcja stała jest ciągła w dowolnym punkcie x₀ e R,

b)    funkcja /(x) = x jest ciągła w dowolnym punkcie x₀ e R.