68474 str153 (3)

0WANIA	8 3. PRZEKSZTAŁCENIE ODWROTNE WZGLĘDEM PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE’A 1 53
t> nieciągłości t0 funkcji /(/),	2° łączną: [/.(O * MO] * MO = MO * [MO * /a(0],
ilcenia Laplace'a jest operacją s, czyli Ł^_1[<P2(5)],	3° rozdzielną względem dodawania: IM0+M0] * MO = MO * MO+MO * MO ■ Twierdzenie 2 (twierdzenie Borela o mnożeniu transformat). Jeżeli fft) i f2(t) są oryginałami oraz L[/,(/)] = ^(s) i L[f2{t)] = ^(1>2{s), to (3.8) L [/i(0] L [MO] = L [fiiO * MO]
),	dla Rej = A> A0, gtez/e A0 jest liczbą równą większemu ze wskaźników wzrostu oryginałów MO i MO- Wzór (3.8) wysławiamy krótko: Iloczyn transformaty Laplace’a z oryginału /,(/) przez transformatę z oryginału MO równa się transformacie Laplace’a ze splotu tych oryginałów. Własność 3. Jeżeli spełnione są założenia twierdzenie Borela, to słuszny jest wzór
e warunki: która jest oryginałem, ej s z wyjątkiem skończonej	(3.9) L“^1 [<Pfs)- *a(s)] = MO * MO = L~^1 [*,(s)] * U^1 [<ł>2(s)]. Wzór (3.9) (zwany wzorem Borela o splocie) wypowiadamy krótko: Odwrotne przekształcenie Laplace’a z iloczynu dwóch transformat d>i(s)4>1{s) jest równe splotowi M0*M0
a każdego e>0 istnieje taka	ich oryginałów. Własność 4. Jeżeli 4>(s) jest funkcją regularną w nieskończoności i mającą w otoczeniu
te się następującym wzorem:	pierścieniowym nieskończoności rozwinięcie w szereg Laurenta postaci:
, i>0.	CO (3.io) *(s)=j k= 1
i jest znana funkcja zmiennej	dla |s|>J?, to funkcja f(t) określona wzorem 00
0>0).	(3.1!) ^/<0-Z(K-l)!'^1 ' k—\.
:h w przedziale <0, a> nazy-	jest oryginałem, którego transformatą {obrazem) jest funkcja <P(s). Funkcja f{t) jest przy tym funkcją całkowitą. Właściwość 4 orzeka więc, że od równości (3.10) do równości (3.11) przechodzimy w ten sposób, że bierzemy po obu stronach (3.10) przekształcenie odwrotne Laplace’a, przy czym po prawej stronie (3.10) wolno brać przekształcenie odwrotne Laplace’a wyraz po wyrazie.
t^a.	§ 4. Wyznaczanie oryginału, gdy znana jest jego transformata Laplace’a (obraz) Bardzo ważne jest zagadnienie wyznaczania oryginału, gdy znamy jego transformatę (obraz). Zadanie to można rozwiązać różnymi sposobami: 1° metoda pośrednia (rozkładu na ułamki proste),