85920 MATEMATYKA016

24 I Wiadomości wstępne

sin z oraz cos z (nic tylko dla argumentów rzeczywistych, co jest oczywiste, ale także dla z zespolonych)

Jedną z ważnych własności funkcji sin i cos w dziedzinie rzeczywistej jest ograniczoność tych funkcji. Dla każdego x e R mamy:

|sinx|śl oraz |cosx|£l.

Funkcje sin i cos w dziedzinie zespolonej nic mają tej własności, o czym świadczą następujące przykłady:

a)    cos2i = ~(e'² +e²)« 3,76> 1,

b)    sin 5i = ^-(e ⁵ -e⁵), |sin 5i|=~(e^J -e~') * 74,4 > 1,

c)    cosiy = ^(e^y +e“^Y),

gdzie y oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Tak więc, funkcja cos dła argumentów czysto urojonych przyjmuje wartości rzeczywiste dodatnie i mogą być one dowolnie duże. Analogicznie łatwo sprawdzić, że dla Z = 7i + iy funkcja cos przyjmuje wartości rzeczywiste ujemne i mogą być one dowolnie małe

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1.    Wykonać działania

a) (3 + i)(2- 3i),    b) 2i(3-2i) + l,

^c) (l + i)(3-i)-i(2 + i), d) (1 +i(3-i))(2 -2i),

e)J^,    v_oe±iĘLĄ

l + 2i    i

2.    Wykazać, żc dla dowolnego zespolonego z

a)z + ź = 2rez, b)z-ź = 2iimz, c)zź=|z|².

3.    Wykazać, żc dla z * 1 (>^m(|^j) = ⁰)o(imz = ⁰).

4.    Wskazać na płaszczyźnie zespolonej następujące zbiory': a){z€C: rez>l a imz<2), b){zeC: I<|z|<3),

c) {zeC: I ś\z-i\<, 2}, d) {zgC: |z|=2 a imz> rez}, e) {zeC:|z + 2i|= 2), f) {zeC: |z+i|£ 1 a |z-i|£3},

g) {zeC; re^-il}, h) {z€C: l<|z|<2 a -y-<argz<y},

i) {zeC: im^cO), j) {zeC: |z+l|£l a — SargzS

5 Napisać w postaci trygonometrycznej liczby:

a) z - -1,    b)z=-2 + 2i, c)z = 3i, d) z = -2i,

c) z = 4-4i,    0 z = \/3 - i, g)z=3, h) z*=-V5-i.

0 Wykonać działania:

a) i™,    b) (2 + 2i)’\    c)(V3-i)²\

d)    (1-i)"⁶, e)(V3 + iV3)“,    0 (2i)'⁷.

7 Następujące liczby zapisać w postaci kartezjańskięj , 4i(l    i)¹²    (1-i)¹7

(i + 2)(2i + 1) ’    '(2 + 2i)’i*’

H Obliczyć:

a) -I-A,    b) V' + 'V3,    c) V-8-6i,

d)Vs,    e) V-T,    0

9.    Rozwiązać równania.

a) z⁴ + 1=0,    b)(z²-i)(z⁴ l) = 0,

c) z^!+2>/2z + 2-i=0, d) z* -6z + 13 = 0, c) (l + i)z⁵-(2-i)z-i = 0,    0 z^ł-3z-4iz = 0,

g)(z^l4 l)(z^J-2z^J+5z) = 0, h) (z + 2i)(z² -2iz + 3) = 0, i) (z⁴-I6)(2iz + 6) 0, j) (z^! +9)(z^! -(4+i)z+4 + 2i) - 0

10.    Znaleźć pierwiastki równania (z² +9)(z²+(2 - 2i)z+1 - 2i) = 0 spełniające warunek |z +■ i|£ 3.

11.    Wyznaczyć zbiór

a)    A = {z€C: z²~2iz-f3 = 0 a |z-2 + i|>2},

b)    A = {zgC: (2 + i)z²-(2-2i)z-2 = 0 A rez>0}.