84069 MATEMATYKA122

234 IV. Culkn nieoznaczona

Wykorzystujemy przy tym następujące tożsamości trygonometryczne:

. •> u^? ₂ I    u

(6) surx = —,, cos”x=--7, smxcosx =--

I + u²    l + u²    liu²

PRZYKŁAD 5.2 Obliczymy całki

a) Jcos^Axsin 'xdx =Jcos'x(l COS² x)sin xdx=j    ₁(J=J-t⁶<l r)dt-

⁼ “7¹ '⁺(j^,,+c = -y^{cos7x +} _ł-'^co^s9x+C;

b) /cos^dx=J(l-sin^:x)^!cosxdx=|^ⁿ”'__(J(} J(1 -tVdt =

= t-|l' i|r -♦ C sinx(l-ysin'x+ysin⁴x)+C;

_c) f^Vdx₌fi^ⁱⁿ^cosxdx J--' U f±TjI_{dt =}

J4+sm“X    *’4 + sin^_x    |co»xdx-dtJ J 4 4-t"

= f( I-i—¹ -)dt = -1+—arctg-+C = -sin.\ * —arclg(-sinx)+C, ^J 4+1    2    2    2    2

.. r sin2xdx r    2sinxcosx    ,    ,

d) I —---— = I — V r- , d\ = {wzory(5) 1 (6)} =

7_

f h u^:    __du r 2udu f_u*,_g ) r d/

J    1    , I t U‘ J(U^J)^:t| (2iulii*d/J j_{z )}|

V y) M 1 )

l+U I + U

=arctgz+C arctgu'+C=arctg(tg²x)+C.    ■

C. Przy obliczaniu calck J R(sin x,cosx)dx często proste

przekształcenia trygonometryczne szybciej prowadzą do celu Ilustruje to następujący przykład

PRZYKŁAD 5.3 Obliczymy całki: a)Jsin3xcos3xdx =~ Jsin6xdx cos6x* C;

^J sin x+cos x ^J (sm* x) +(cos^_ x) u

^b) Il~^ !>-«*•4_X-2«n = 2x>=AJ_^_ ₌ -^^c,g₂X+^C;

c)    Jsin² xcos^; xdx = — J(2sin xcosx)^:dx = - Jsin² 2xdx =

={2nin² 2x*l-co»4x}=-J(I-cos4x)dx =~(x~—sin4x)+C; d)flg^rxdx=(l+ig²x»—7-U f(—\—l)dx*tgx-x+C;

^J    [    COS* X J * COS X

c) J cos² xdx = {leos² x*l+cos2x) = j J( ł^{+ cos} 2x)dx = ^(x+-| sin 2x)+C:

I) Jcos¹ xdx=J(cos^: x) dx { 2 cos² x »I ł cos2x } = J( I -»-cos2x)² dx =

= * J(l+2cos2x+cos^:2x)dx = — (x+sin2x)+-J(l+cos4x)dx =

=~-(x +sin2x) + ^(x+~ sin4x)+C = ^ (12x+8sin2x+sin4x) -t C.    ■

D Przy obliczaniu pewnych caick rozważanej lu postaci jR(sinx,cosx)dx można stosować wzory rckurcncyjne. Na przykład całkując przez części, można otrzymać następujący wzór rckurencyjny (por tablice całek na końcu książki):

(5.1)    J_n= fcosⁿxdx=~cos^olxsinx+-— J_n^_f n=2,3,...

^J    n    n

PRZYKŁAD 5.4 Korzystając z wzoni (5.1) obliczymy całkę J₄ = Jcos⁴ xdx.

Dla obliczenia całki J₄ potrzebne są całki J₀ i J₂. Kolejno otrzymujemy: J₀ = | cos⁰ xdx = Jdx = x,

J₂= fcos²xdx = -lcosxsinx + ^-J, = 4sinxcosx+ ! x,

J    2    2 * c 2    2