page0378

370

Równania

-=-f

/ p V -    ,    / p V

ste i nierówne, kiedy I 1 ^>r_y, są rzeczyw.ste i równe sobie gdy - - \ —q, //?\2

są wreszcie urojone, gdy ( — ) <j?. Według tego mając n. p. równanie li

«T^WW ii tO U ■ . !

te wartości rzeczywi—

czebne e"

x² +

■10 —0^ bacząc,

T" ' V

ze p — 3,

otrzymamy

9    3    /

#'_=—— -J- |/    i X"————J/ — [-10 ——ó; .cażda z tych wartości

otrzymanych na X, sprawdza podane równanie; gdyZ podstawiając pierwszą, mamy 2² 4-3‘2—10—0, i podstawiając drugą otrzymujemy: (—5)²-f-3(- -5)—10=0. Wartości niewiadomej otrzymane po rozwiązaniu równania nazywają się pier-wiastkami równania. Równanie jakiegobądź stopnia ma tyle pierwiastków, ile w stopniu jego zawiera się jedności. Równanie jakiegobądź stopnia można sprowadzić do postaci x^mĄ-Ax^m    2-|-Cx^m 3-j- -\-PxĄ-Q~o;

każde równanie zawsze można zamienić na takie, w którem wyrazu zawierającego X^m—¹ nie bedzie, okażemy to na równaniu stopnia 3°*j?³-}-«j?² \-bxĄ-C —o; w tym celu uczyńmy x—y-\-h, a otrzymamy (y\ h)^h-±-a(y-)rh)²Ą-b(yórhjĄ-C—o,

w, aby się pozbyć y³, potrzeba, aby h było ta-

a

kie, iżby 3k-j-a—0_> zkąd h——podstawiwszy w otrzymanem rózwnanlu za h znalezioną dla niego wartość,, otrzymamy równanie uwoln.one od wyrazu zawierającego y². Każde przeto ró wnanie stopnia trzeciego można sprowadzić do postaci X*-[-px-\ q—0. Gardan podał wzur na rozwiązanie tego równania, zwany wzorem Cardan’a, który

- *=^r-M!Wl)‘+    <i)-

Wzór ten w zastosewaniu okazuje się często niedogodnym. Wyprowadzono także wzory ogólne na rozwiązanie równań stopnia czwartego, lecz te, podobnie jak poprzedzające, są niedogodne w użyciu. Równania stopni wyższych w niektórych przypadkach szczególnych z łatwością daja się rozwiązywać, tak np. równania trójwyrazowe stopnia 4-tego postaci: x*-\-px²-\-q—O_y

czyli: ^^3-f3^	y^Ą-Sh^2		\-M )
Ą-a	-\-2ah		-ahĄ
	+ b		-bh j
>injn/.(iH			h ^c)

oznaczywszy &

«o i *

z, bedzie x^—z² i uczyniwszy podstawienia, otrzymamyr

t

P V²    P i/P²

z²-\-pz-\-q—0, zkąd z==——+ f . —czyli X²—— - -f V — —q, a w y-

1/ V    n,/P²

ciągnąwszy z obu stron pierwiastki kwadrat., mamy: x—-\-V —g — y ^ — Qr Podobnym sposobem w ogolności z równania postaci x^2m-\-px^m-\-q=:o, otrzy

mi    --—

.    , . Pomimo niezliczonych usiłowań matematy-

2    ^ 4    ‘

kuw niezdołano dotąd wyualeść stosunków, którcby dawały wartości dla niewiadomych w funkcyi spółczynników, w równaniach stopni wyższych, począwszy

mujemy X"