s84 85

84

155. -    + 3arctg v/a; 4- C

t

t>

156. 6

4-

- ln

6

-f- C; :r = t

I 57. jr (.t 4~ 1)^ 4- 2,y/x 4-1    3v^j; -1- 1 — ln y/x 4* 1 — \/.r 4- 1 4- l]

—41n(l + \/x + 1) + 2\/3arctg²^+^T~^l + C; x + 1 = t⁶

158

|(3 - 2*f )* + ^(3 - 2x*)* + C; 3-2 xi

159. arcsin —4- C 161. \ arcsin(2a; — 1) 4- C

160. ln \x 4- Vx² — 3| 4- C

162. ln \x 4- 1 + \/x² + 2x — 1| 4- C

163. 2\Jx² 4- 9+31n(.T-h\/^² + 9)+C

164. -y/lG

X¹

2 arcsin | 4- C

165.    2y/x² 4- 4x 4- 8 -ł- 2 \n(x 4- 2 -f \Jx^z -f 4x + 8) 4- C

166.    -7Xy/l — x² 4- £ arcsin x 4- C

jL    w

167. ^x\/9 4- x² — § ln(x 4- \/9 4- x²) 4- (7 168. -—4- v/x*² — 6&* — 7 — 8 ln |.t — 3 4- \/x-² — 6x — 7 4- C

2.2. Całki oznaczone

Obliczyć całki oznaczone:
1. ^	f ^2 dx L3 ^'^2 4- 23; 4- 1	2.	/• 4 / x*^3 \/x^2 4- 9d:r Jo
3. ^	f^77 COS 3; / --dx U \/l + sin x*	4.	C * sin(ln x)ć/a*

Rozwiązania 1. Ponieważ

:r² 4- 2x* 4-1 = (j; 4- l)²,

więc

dx

4- 2x 4- 1

,..2

mL

f ^2 dx 1	-2	1 11	1
_3 (z + l)^2 a: + 1	-3	-3 + 1.	~ 2

2. Podstawmy

y/x² + 9 — t,

a więc

x² -f 9 — t

2

i stąd

2 xdx — 2 tdt

Wprowadzając zmienną t zmieniamy granice całkowania:

ti = \/0 + 9 = 3,

t,2 — >/nr+9 — 5

Stosując teraz twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie, mamy

•5

I x^{1 2} y/x² 4- 9dx — I xx¹ \Jx² + 9dx — I t²(t¹ —9)dt

Jo    Jo    J 3

(f⁴ — 9 t²)dt =

5

t

— 3Z

3

1    1412

i(5³ — 3³) — 3(5¹ — 3¹) - —-

o    5

9

—

1 4- sin - = \/2,

cos x    Z*¹

I .    dx 2 / dt

J1 \/l I Ninx    Jv/2

2Z

vA

x/2

= 2(1 - n/2)

1

Podstawiamy

y/\ + sinx = t,

2

a więc

1 -f sin x = t~,

3

oraz

cos xdx — 2Zd£

Nowe granice całkowania są:

t₂ = Vl + Sili 7T = 1

Na podstawie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie, otrzymamy