223 (52)

tftnODA ELEMŁMU SKOŃCZONr.CO ioj/223

Wtedy zadanie (10.94) sprowadza się do wyznaczenia minimum funkcji F(a), a € Rⁿ, równej

F(a_lt ...,0 =

‘i-l

• •    3 F

Wektor minimalizujący /•'(«) powinien spełniać warunki = 0. i = 1,    /w.

B<x_t

Jeśli forma a (u, r) jest F-eliptyczna, to powyższe warunki są również warunkami dostatecznymi istnienia minimum. Z warunków tych otrzymujemy układ równań algebraicznych, którego postać jest taka sama jak układu (JO.87), u_Mi ^ - of₄. Oznacza to, że metody Ritza i Galcrkina dla zadań z formą symetryczna dają te same rozwiązania przybliżone. A więc metodę Ritza można traktować jako szczególny przypadek metody Galerkina.

10.3.3

Meiodci elementu skończonego dla zagadnień różniczk o wy eh zwyczajnych

W tym punkcie omówimy kilka wariantów MES dla równań zwyczajnych z warunkami brzegowymi. Na rozważanych przykładach przedstawimy konstrukcję metody i problematykę dotyczącą jej badania. MES traktujemy jako szczególny przypadek metody Galerkina, dlatego przy jej opisie będziemy korzystać z faktów zawartych w poprzednim punkcie.

Rozpatrujemy zagadnienie postaci

j — Z) (a (*) D«) -f c (x) u =/(x), x € (0, l)

\    u (0) = „ (f) = 0

Zakładamy, że dane funkcje są ciągłe oraz

«(x) > y > o, c (*) > o

Temu zagadnieniu odpowiada następujące zadanie wariacyjne: wyznaczyć taką funkcję u e łĄ (0. /), że

1    ł

a (u, v) = I (u (x) Du Dv+c(x) uo) dx = /(a) = | fv d.v , ve Ho (10.95) ó    ó

Przedstawimy najpierw najprostszy wariant MES, w którym aproksyinujeiny funkcjami przedziałami liniowymi. Skonstruujmy przestrzeń elementu skończo-^,e9° K*. Niech Q_f. będzie siatką na Q = [0, /] postaci

Ą, = {x : x = ih, i = 0, ...» m +1, (m +1) h = l)

Oprowadźmy funkcję pomocniczą <o (5) definiowaną jako

n-w, u\ < 1

l°*    |S|>1

Wykres tej funkcji jest przedstawiony na rys. 10.7.