226 (49)

458 Dodatki

458 Dodatki

Wzór (A.3) przyporządkowuje funkcji zmiennej rzeczywistej /(i) funkcję zmiennej zespolonej F(s) i nosi nazwę prostego przekształcenia (transformacji)

oo

Laplace’a, a całka-    di nazywana jest często całką Laplace’a. Funkcję/(f)

o

nazywać będziemy oryginałem.

Możliwe jest również odwrotne przekształcenie Laplace’a (transformacja odwrotna), pozwalające określić funkcję f(t) odpowiadającą danej transformacie F(s). Zagadnienie to sprowadza się do rozwiązania równania całkowego (A.3).

Odpowiedniość między funkcjami /(/) i F(s) zapisujemy często skrótowo

F(s) = C [/(«)]    (A.4a)

oraz

/(<)=£-¹[F(«)],    (A.4b)

co należy czytać: ,,F(s) jest transformatą Laplace’a funkcji /(<)” oraz „/(<) jest oryginałem transformaty Laplaee’a F(s)”.

Niżej podane zostanie kilka podstawowych własności i twierdzeń rachunku

operatorowego opartego na przekształceniu Laplace’a.

1.    Transformata iloczynu stałej przez funkcję

C[«/(f)] = aF(s).    (A.5)

2.    Transformata sumy funkcji

£[/i(0+/jU)+    +/«(0]⁼    + ... -)-JPn(s) •    (A.6)

3.    Transformata pochodnych funkcji

^{C= s}-^F’^(s)~^⁰⁺) >    (A.7)

gdzie /(0⁺) jest wartością początkową funkcji /(t) w punkcie t= 0⁺ (prawostronna granica),

^C[^t] ⁼    0⁺),    (A.8)

gdzie /'(0⁺) jest pochodną /(0⁺).

Wzór ogólny ma postać

Td7(0l

^{C    =    Sn}"’^/(° ^{)_ sn_2}/'(0⁺)- - -/⁽ⁿ“^1,(0⁺).    (A.9)

Ponieważ zajmować się będziemy funkcjami f(t), dla których często /(0⁺) = 0, /(0⁺)=0, ..., /^{<n I)}(0⁺) = 0, praktycznie stosować będziemy wzór (A.9) w uproszczonej postaci

(A.10)

„ fd7(i)1

4. Transformata całek funkcji

^cl Ogólnie	[/*>«]-T-0	(A.11)
^ctL	w’-	(A.lla)
5. Transformata funkcji okresowej. Jeżeli dana jest funkcja okresowa f(t)=f(t+lcT), gdzie /.• i, 2, 3,..., oraz :-T Ft(s) = j e—*/(/)«!/ 0 jest transformatą funkcji f(t) za jeden pkroH, to
= [/(*)] - • 6. Twierdzenie o przesunięciu rzeczywisty iii:		(A.12)
, x)] = , gdzie r jest odcinkiem czasu (przesunięciem czasowym). 7. Twierdzenie o przesunięciu zespolonym:		(A.13)
C[e^/(t)] = I-’(.v I A) . gdzie /. jest dowolną liczbą zespoloną. 8. Twierdzenie o wartości końcowej:		(A.14)
lim/(t) = lim sl'’(«) . (|-*oo 8-*0 9. Twierdzenie o wartości początkowej:		(A.15)
lim/(t) = lim «/''(») •		(A.16)

A. Podstawowe własności nudiiinltti opora torowego_459

Ze wzorów (A.5), (A.6), (A.10) i (A.lla) wynika, że równania różniczkowo-całkowe zostają po dokonaniu transformacji zastąpione równaniami algebraicznymi zmiennej s.

Należy zwrócić również uwagę na twierdzenia o wartości końcowej (A.15) i o wartości początkowej (A.16), dzięki którym znając transformatę F(s) potrafimy określić niektóre własności orygina ł i/ ftt) bez wykonywania transformacji odwrotnej. Dla ścisłości trzeba jednak dodać, że zakres stosowalności