234 (47)

474

Dodatki

sterowań w postaci funkcji schodkowych (przedziałami stałych); wówczas z zależności (C.9) otrzymujemy układ równań

(C.12)

V = ar,

przy czym

	’ “u	^au	• ^axn		®i1 '
7 =	^a21	Cl'»2 •	• Gon	, X =	#2
	®7*1		• &n ti		- ** .

it

a_if = — J a₍_,<T)dr (ł₀— 0, ł„ = f*) .

h-i

Przez odpowiedni wybór chwil czasowych t,, t......, t„ można zapewnić nieoso-

bliwość macierzy a. Mnożąc równanie (C.12) przez a^-1 otrzymamy

(C.13)

x=z~'V.

Na podstawie równania (C.13) można wyznaczyć poszukiwane wartości aą,    x„ sterowań aą(/.),    ..., x_k(t), przy czym n > li.

Sens sterowalności polega więc na tym, że wszystkie współrzędne stanu są sprzężone z wektorem sterowań X(t) [wektor X(t) oddziałuje niezależnie na każdą współrzędną wektora stanu £/(/-)]. Jeżeli którykolwiek wiersz macierzy a jest równy zeru, to odpowiadająca, mu współrzędna stanu nie zależy od wektora X(l). Współrzędną taką nazywamy niesterowalną.

C.2. Obserwowalność liniowych układów stacjonarnych

Układ opisany równaniami (C.l) i (C.2) nazywamy obserwowalnym w przedziale czasu t₀ < i <tk, jeżeli na podstawie znajomości wektora wejść (sterowań) X(t) i wektora wyjść Y(t) w tym przedziale można wyznaczyć wektor stanu U₀ układu w chwili t„.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym obserwowalności jest, aby podany niżej rząd macierzy był równy n

rząd [C, CA, CA‘,..., CA"-'] = n .    (C.14)

Równanie wyjść (C.2), po podstawieniu rozwiązania (C.3) równania stanu (C.l), przyjmuje postać

i

(C. 15)

Y(t) = Ce^A,U₀+C l'cA<^l-^BX(T)dr-_rDX{t).

■ ■■■■■ *-

475

C. Sterowalność ł obserwowalność układów liniowych

Wprowadzając pojęcie zmodyfikowanej odpowiedzi Z(f),

i

Z[t) = F(i)—Cj e^A(l~^T)BX(r)d.T— DX(i),    (C.16)

o

otrzymamy związek tej odpowiedzi z wektorem stanu U₀ w postaci

(0.17)

Z (i) = Ce^A,U₀.

Dla t równego t,, U,..., t„ (U <<*) otrzymujemy

Z(k)'		Ca^Atl'
_Z(tn)_		Ce^Mn

(C.1S)

Jeżeli spełniony jest warunek (0.14), to macierz

Ca^Ah'

(C.19)

Ce'*'"

ma n liniowo niezależnych wierszy, a macierz M utworzona z tych wierszy jest macierzą nieosobliwą. Oznaczając Z wektor o odpowiadających wierszom macierzy M składowych

'zay

_Z(t_n)

napiszemy na podstawie (0.18) układ równań

Z = MU₀.    (C.20)

Wektor stanu U₀ wyznacza się więc na podstawie zależności

U₀ = M^-1Z,    (C.21)

przy czym wektor Z określony jest na podstawie (0.16).

Z powyższych rozważań wynika, że na podstawie znajomości wektora wejść (sterowań) X(l) i wektora wyjść Y(ł) można wyznaczyć wektor stanu U_a wtedy i tylko wtedy, kiedy rząd macierzy (C.19) jest równy n, 'co zachodzi, gdy rząd macierzy (C.14) także równa się n.

C.3. Wnioski

W ogólnym przypadku można wydzielić, ze względu na sterowalność i obserwowalność, w dowolnym układzie cztery części, które zostały schematycznie przedstawione na rys. C.l. Transrnitancja operatorowa (lub macierz transmi-