230 2

230

6. Równania nieliniowe

Z dowodu twierdzenia 6.5.1 wynika, żc

<?{*).

tego ciąg {x_r} można za pomocą ekstrapolacji Ailkena (§ 3.2.3) przekształcić w

Jeśli zatem r/(a)w0, to liczby x_n-a tworzą w przybliżeniu ciąg geometryczny. Wobec

zbieżny ciąg {*£}, gdzie

szybciej

,)²

Operator różnicowy wprowadzony w rozdziale 1 pozwala napisać ten w'zór w postaci

x„ =x„-

(dXu-l?

J\_₂

To przekształcenie jest tak proste, że należy je regularnie stosować, gdy wiadomo, że zbieżność iest liniowa; w przeciwnym razie ciąg {jrj} jest zazwyczaj wolniej zbieżny niż

W-

Przykład 6.5.3. Równanie x^e~^x ma jedyny pierwiastek a«0.567. Obliczymy go z sześcioma cyframi ułamkowymi, używając metody iteracyjnej a:.₊₁ -e~^Xn i ekstrapolacji Aitkena do przyspieszenia zbieżności. Otrzymujemy następujący ciąg przybliżeń:

n	x.	zU—i-IO*	JjrT_2•10®	xi,
0	0.567000
1	0.567225	225
2	0.567097	12*	-353	0.567143
3	0.567170	73	201	0.567143
4	0.567129	- 41	-114	0.567144
5	0.567152	23	64	0.567144
6	0.567139	— J3	- 36	0.567144

Jak widać, ciąg ckstrapolowany {.*'} jest w tym przykładzie znacznie szybciej zbieżny niż {*,}.

Metoda iteracyjna ,v_M ., =ę(x,,) jest na ogól zbieżna liniowo, chyba że ę>(x) wybierze i? w pewien szczególny sposób. Przypuśćmy teraz, że funkcja $(x) ma p-tą pochodną ciągła w otoczeniu punktu or, gdzie ct=<p(a) i że

(6.5.1)    ff^aO-O 0=1,2, — p— Ij. ę>^lpW 0.

Zgodnie z twierdzeniem Taylora

*.+ » = ?(*■>=«**• '. ę^{PXę_n)(x«-x)*, gdzie £„ e int(x„, a). P-

Jeśli lim x« — z, to

lim = - ■ |p^Ya')|^0, gdzie b„=x_k-oc.

dla plerwi&lk*

Kr p¹

W przypadku (6.5.1) wykładnik zbieżności metody iteracyjnej x_m+j — p(x_M) a jest równy p.