236 (59)

METODY NUMERYCZNE.. 10/

i ciągła, tzu.

a (u, r) < M Ii-Iii |if it, u.ceWÓ.

gd/Jc y i M są stałymi dodatnimi niezależnymi od u i r.    ■

Dowód

Forma a (u, w) jest równa

2    2

a (tt, u) = J «,/x) D, uDj u+ bfix) D, u u ł o (.v) u²\ dfl

Ó i.j-l    1-1

Jeśli bi{x_t, x₂) nic zależy od xto wyraz z tym współczynnikiem jest równy zeru. Sprawdzamy to bezpośrednio stosując wzór Grccna. Na podstawie warunku (10.104), ć: - D4t, otrzymujemy nierówność 2

u (u, u) > y₀ | \ (D_tu)~ dfl

d i-i

Z nierówności Friedrichsa postaci (por. z poz. [75])

||£>im|]₀ > r5 !|m|₀ , n e/7j    (10.106)

gdzie <5 jest stałą dodatnią zależną tylko od średnicy obszaru Q. wynika już H^^m -eliptyczność formy a (it, v) (por. lemat 10.8). Aby ustalić ciągłość a (u, u) oszacujemy ją z góry w następujący sposób:

2

\a (u, t’)| < max |fl_y(x)| I \D_t u| |D- i’| dD-f-

**»•■/    ii i.j«i

2

- max \b£x)\ | N |D, u| |i’| dD+max |c (»| J u| |r| dQ <

x.ł    Q 1-1    X    ft

2 2

^ M I £ D: u I liDj v\, + ^ IIP, u \ ||y| • I u | Ml)

I,,f-1    I-I

gdzie M = max (max . max |fc,-(u) , max |c (.v) }.

x.:.j    x.l    x

Stosując teraz dwukrotnie nierówność Cauchyego ( V _a.b. śl (V _ajy»i (V bf)^i;2) otrzymujemy

i    t    i

2    2

a (u, L-) < M [£ ID; u 1^1 Oj #||+ ||r ) + i«,] ||ej|) <

I-I    J-I

l^l^rl+W^ + lin²)' <

/-I

2 2

<w(2'

||D₁«|p+ i«j ²)^J''^J (2

2

^ M u |, (6 \Dj v,₂ +7 M²)*'² <3Af lii^

Wykazaliśmy więc również ciągłość a (u, r).