252 (51)

METODY NUMERYCZNE... I'

METODY NUMERYCZNE... I'

(10.118)

Rozpatrujemy zadanie różnicowe )-(ci ?i m*(*)+ć₂ d₂ u_D(x)) = f_h(x) , x e Q_h

l«_h(*) = 0 , x e r„

gdzie £2_a — Q_h u r_k,

= {x = (ih_ltjh₂), i = 0,    A*, j = 0,M, A7i_ł = /_1? A//j₂ = /₂)

Zadanie (i0.118J możemy zapisać w następującej postaci wektorowej (indeks h opuszczamy)

—fir *^uy-2⁺ ^jjy    ^ j «v-i = A-1

(10.119) gdzie u, = {u(*Ai.A)}?I^,ł »/i =

/ jest macierzą jednostkową, zaś macierz B jest równa

-2	1 • ...	0
1	-2 1 ...	0
	.	1
0	0 0 ...	-2

* = -*!

Wartości i funkcje własne macierzy B możemy wypisać explicitc. są one bowiem rozwiązaniami następującego zadania różnicowego

— 0.5₂p^<«(x_J)-;.⁽²⁾p^<2>(Xj) = O₁ x₁=jh₁, j — 1,.... Af—1

p⁽-ko) = p^<2)(y = o

Funkcje i wartości własne tego zadania są równe (por. np. 7 książką [95])

^p'^!>=1]/ -k^sin ? • ^r=i.....^m~ⁱ

Utwórzmy macierz P z wektorów własnych macierzy Z>.

P - t„<²> n⁽²⁾    „^<2> 1

•* — "(Pi » P2 t —łPM-U

Bezpośrednio sprawdzimy, 2c i* jest macierzą symetryczną i ortogonalną, P = P^T, P~' = P^T oraz PRP = /I

gdzie /I jest macierzą diagonalną z elementami 2<²\ r = 1,.... A/— I.