23 (862)

4

SZEREGI ZESPOLONE

4.1 Szeregi liczbowe

■ - . . . . , / . . . . . , Definicja 4.1.1 (szereg zbiezny, suma szeregu, szereg, rozbieżny)

Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeśli ciąg (S_n) jego sum częściowych, gdzie

r> d^ef

Sn — Z\ + 22 + • • ■ + Z„,

jest zbieżny do granicy właściwej. Granicę tę nazywamy sumą szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym.

• Fakt 4.1.2 (zbieżność szeregu a zbieżność jego części rzeczywistej i urojonej) Niech z_n = z„ + iy_n, gdzie x_ni y_n € R dla n 6 IV. Wówczas szereg zespolony

CO

n = l

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są szeregi rzeczywiste

CO    oo

E¹"' E^-

n=l    n = l

Zachodzi przy tym równość

OO    OO    oo

E*- = E^r" + ‘E^!/'^>-

n = l    n=l    n — 1

O Ćwiczenie 4.1.3

Korzystając z powyższego faktu zbadać zbieżność podanych szeregów:

OO

^c)E—-

' n + 1

.    3 + 2ni , . V~' :

E sr-t ^b) E

5'

³ + 2ni _b^2"_+,₃"_{:    c}_ ,    _

i + i

•    Twierdzenie 4.1.4 (warunek konieczny zbieżności szeregów)

OO

Jeśli szereg ) z_n jest zbieżny, to lim z„ = 0.

'    n — co

n= 1

O Ćwiczenie 4.1.5

Uzasadnić, że podane szeregi są rozbieżne:

oo    oo    oo    _

nra 1    n= 1    n = 1    2 ^

•    Definicja 4*.1.6 (zbieżność bezwzględna szereguj

oo    oo

Mówimy, że szereg ^ z_n jest zbieżny bezwzględnie, jeśli szereg |z„ | jest zbieżny.

n = l    n = 1

•    Twierdzenie 4.1.7 (zbieżność szeregów bezwzględnie zbieżnych)

Szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny.

•    Definicja 4.1.8 (zbieżność.warunkowa)

Szereg, który jest zbieżny, ale nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy zbieżnym warunkowo.

•    Twierdzenie 4.1.9 (kryterium porównawcze)

oo    oo

Jeśli |z_n| a„ dla n ^ n₀ i szereg ^ a„ jest zbieżny, to szereg ^ z_n jest zbieżny

n = l

.    n = 1

bezwzględnie.

•    Twierdzenie 4.1.10 (kryterium d’Alemberta ’)

^zn + l

Niech lim

n-*oo

= q. Wówczas, jeśli q < 1, to szereg ^ z_n jest zbieżny bez-

n=l

względnie, a jeśli q > 1, to szereg ten jest rozbieżny.

• Twierdzenie 4.1.11 (kryterium Cauchy’ego)

OO

Niech lim    = 9- Wówczas, jeśli q < 1, to szereg z_n jest zbieżny bez-

n—*oo    t..—j

n = l

względnie, a jeśli q > 1, to szereg ten jest rozbieżny.

O Ćwiczenie 4.1.12

Korzystając z powyższych kryteriów zbadać zbieżność podanych szeregów:

\ V'' ⁿ(3* — l)ⁿ , .    » n"    , v—' sinⁿ

5=-^'    np    ^C>E^

r. - 1    __ł '    '    __i

^d> E_ni(*+0"^; ') E^(^cosT^+,sinT)^{; f)}E^!

ⁿ*l    n=1    n=1 "Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783), matematyk francuski.