245 (27)

472

Uzupełnienia

Przykład Ul.l

Znaleźć grupę punktową i skonstruować tablicę mnożenia grupowego dla tetraedrycznej cząsteczki F₂SO.

W narożach tetraedru umieszczamy atomy fluoru, siarki i tlenu. Cząsteczka ma jedną płaszczyznę zwierciadlaną przechodzącą przez atomy S i O oraz między atomami F, należy do grupy C_s, a tablica mnożenia jest następująca:

Cs	E a
E <7	E a (7 E

Tabele charakterów. Aby ułatwić ich omawianie przytaczamy tutaj tabelę charakterów (tab. U 1.5) grupy C_:iv, do której należy cząsteczka NH3.

Tabela U1.5. Tabela charakterów grupy C

F 3l!	E	3crv	2C;j
Ai	1	1	1	Z	x^2 + y\ z^2
a2	1	-1	1	Rz
E	2	0	-1	(*.„), Mi,. Iły)	(x^2 — y^2, xy), (xz, yz)

W gprnym wierszu, oddzielonym od pozostałych, podany jest symbol grupy C:i_V orazj symbole elementów symetrii określające poszczególne klasy. Podana jest takżę liczba elementów w klasie. W rozpatrywanym przypadku mamy: E, 3(7_r i 2Ć-J. Kolejne wiersze odnoszą się do nieprzywiedlnych reprezentacji danej grupy, których - jak wiemy - jest tyle samo co klas. Pierwsza kolumna zawiera symbol reprezentacji. Poprzednio do reprezentacji stosowaliśmy ogólny symbol F,.

Litery A i B oznaczają reprezentacje jednowymiarowe, przy czym A stosujemy wtedy, gdy dla obrotu dokoła głównej osi mamy x(C_n) — 1, natomiast B wtedy, gdy x(^n) = — 1. Reprezentacje typu A nazywamy symetrycznymi względem obrotu dokoła głównej osi, a B - antysymetrycznymi. Jeśli w grupie występują dwie różne reprezentacje A lub dwie B, to rozróżniamy je wskaźnikiem 1 i 2, pisząc np. A1 i A₂. Jedynkę stosujemy do reprezentacji symetrycznych względem osi dwukrotnej prostopadłej do osi głównej lub względem płaszczyzny cr_v, a dwójkę stosujemy do reprezentacji antysy metrycznych względem tych operacji.

Litery E i T stosujemy odpowiednio do reprezentacji dwu- i trójwymiarowych, przy czym jeśli w danej grupie są dwie takie reprezentacje, rozróżniamy je dodatkowo wskaźnikami I i 2.

W niektórych przypadkach, mniej nas interesujących, stosuje się znaki prim i bis (np. A[, A”) odpowiednio dla reprezentacji symetrycznych i antysyme-trycznych względem płaszczyzny 07,.

Jeśli w danej grupie występuje środek symetrii, to stosujemy odpowiednio wskaźnik g i u (niem. gerade, ungerade) dla reprezentacji symetrycznych i antysymetrycznych względem inwersji, tj. wtedy, gdy x(?) > 0 lub x('^t) < 0.

Reprezentacja pełnosymetryczna, którą poznaliśmy wcześniej, ma zawsze symbol A. a jej wskaźnikami mogą być tylko 1 oraz g. Może mieć także znak prim. Możliwymi zatem symbolami reprezentacji pełnosymetrycznej w różnych grupach symetrii są: A, A i, A_g, A_lg, A\ A[. W tabeli charakterów reprezentację pełnosymetryczną podaje się zawsze jako pierwszą. Przykładowo wymieńmy kilka symboli różnych reprezentacji: E_f) oznacza dwuwymiarową reprezentację symetryczną względem inwersji, 7j.„. - jedną z trójwymiarowych reprezentacji antysymetrycznych względem inwersji, E2 - jedną z dwuwymiarowych reprezentacji grupy, która nie ma środka symetrii itd.

W tabelach charakterów na przecięciu się wiersza odpowiadającego reprezentacji i kolumny odpowiadającej klasie podana jest wartość przyporządkowanego im charakteru. Natomiast kolejne dwa segmenty tabeli zawierają rozmieszczone w różnych wierszach symbole współrzędnych x, y, z i pewne wyrażenia z nich zbudowane, a także symbole R._r, R_z oznaczające obroty wokół osi współrzędnych odpowiadających wskaźnikom. Sens przyporządkowania tych wielkości nieprzywiedlnym reprezentacjom jest następujący: w przypadku grupy współrzędna 2, a także jej kwadrat z^ź oraz wyrażenie x² + \f zostały przyporządkowane reprezentacji A_1? gdyż transformują się one zgodnie z reprezentacją Ai, tj. nie zmieniają się w wyniku wykonania jakiejkolwiek operacji symetrii. Oś obrotu R_z należy do reprezentacji A-2, gdyż w wyniku przeprowadzenia operacji odbicia względem o_v zmienia znak. Natomiast na przykład współrzędne x i y mieszają się ze sobą w wyniku przeprowadzenia operacji symetrii i dlatego są przyporządkowane dwuwymiarowej reprezentacji E. Cel podawania współrzędnych i ich potęg w tabelach charakterów stanie się jasny później.