25 (349)

Elektronika dla informatyków

Elektronika dla informatyków

Rys. 31

mała pojemność    duża pojemność

duża indukcyjność    mała indukcyjność

Rys. 32

kierunku oznacza ładowanie kondensatora napięciem o biegunowości przeciwnej, niż było na początku. Na kondensatorze napięcie staje się więc coraz bardziej ujemne. Cewka oddaje energię do kondensatora i płynący prąd jest coraz mniejszy. Wreszcie w chwili oznaczonej tz prąd staje się równy zeru. Zgodnie ze wzorem E = LI²/2, energia zawarta w cewce jest równa zeru. Cała energia znów zawarta jest w kondensatorze, na którym występuje napięcie równe napięciu baterii, tylko ujemne. Znów kondensator staje się źródłem energii i przez cewkę zaczyna płynąć coraz większy prąd, tylko o kierunku odwrotnym, niż wcześniej. Napięcie na kondensatorze zmniejsza się, a prąd staje się coraz większy. W chwili t;, napięcie na kondensatorze staje się równe zeru, a prąd w cewce osiąga maksymalną wartość - znów cała energia zgromadzona jest w cewce. Później cewka, która „nie lubi zmian prądu”, podtrzymuje przepływ prądu w tym samym „ujemnym” kierunku. Ten malejący prąd zaczyna ładować kondensator - energia znów jest przekazywana do kondensatora. Wreszcie w chwili U cewka przekaże całą energię do kondensatora i sytuacja będzie dokładnie taka sama, jak w chwili to. Cykl będzie się powtarzał. Oczywiście gdyby kondensator i cewka były idealne, takie oscylacje utrzymałyby się wiecznie. Do takiego idealnego systemu wystarczyłoby jednorazowo dostarczyć porcję energii i energia ta przez wieczność krążyłaby na przemian między kondensatorem i cewką. Czy byłbyś skłonny stwierdzić, że taki obwód zamienia napięcie stałe na przebieg sinusoidalnie zmienny?

Oczywiście w praktycznych systemach i obwodach zawsze występują straty energii, choćby wskutek tarcia wody o ścianki rur w systemie hydraulicznym czy rezystancję drutu cewki indukcyjnej. Dlatego w rzeczywistości oscylacje nie będą się utrzymywać wiecznie. W każdym cyklu pracy tracona będzie część energii i drgania będą coraz mniejsze. Przebieg sinusoidalny będzie mniej lub bardziej tłumiony. Do tej ważnej sprawy jeszcze wrócimy, a na razie zajmijmy się inną ogromnie ważną kwestią. Chodzi o częstotliwość drgań takiego obwodu LC.

Częstotliwość drgań

Moglibyśmy próbować matematycznie wyprowadzić wzór na częstotliwość drgań obwodu z rysunku 30b. Jest to możliwe, ale trzeba byłoby wykorzystać wyższą matematykę (m.in. równania różniczkowe, ewentualnie transformatę Laplace’a oraz zmienną zespoloną s). My spróbujmy to zrobić w sposób bardzo uproszczony. Otóż wiadomo, że reaktancja indukcyjna cewki Xl rośnie liniowo ze wzrostem częstotliwości (pulsacji) według zależności:

Xl= 27tfL= toL

Z kolei reaktancja pojemnościowa Xc maleje ze wzrostem częstotliwości według wzoru: X_c= l / 27ifC= l / coC

Ilustruje to rysunek 31. Dla jakiejś częstotliwości fo reaktancja pojemnościowa i indukcyjna mają jednakowe wartości X_L= X_c, czyli 2rtf₀L= l / 27ifoC A jeśli tak, to przekształcamy (2irf₀L)(2iifrC) = l 2 Vf₀²LC = l fo²= l / 2²ttLC fo= l / (2²7t²LC)^l/2 fo= l / 2tt(LC) ^1/2

Co zapisujemy w bardziej znanej postaci:

2 tt V LC

W zasadzie obliczyliśmy tylko częstotliwość, przy której reaktancjc indukcyjna i pojemnościowa mają tę samą wartość, ale przyjmij na wiarę, że jest to także częstotliwość drgań wytwarzanych w idealnym obwodzie LC z rysunku 30.

W podręcznikach częściej używa się pojęcia pulsacji, niż częstotliwości (co= 2rtf), dlatego bardzo często spotykamy zapis:

*

Już jeden rzut oka na dwa ostatnie wzory prowadzi do wniosku, że daną częstotliwość (pulsację) można uzyskać przy nieskończenie wielkiej liczbie kombinacji wartości L, C, byle tylko iloczyn LC pozostał jednakowy (LC = const).

Ilustruje to także analogia hydrauliczna. Otóż daną częstotliwość oscylacji możemy uzyskać, stosując małą pojemność (cienką rurę) i dużą indukcyjność (masywne koło zamachowe). Możemy też wykorzystać dużą pojemność (rura o dużym przekroju) i małą indukcyjność (turbina o małej bezwładności i masie). Tak samo w obwodzie elektrycznym LC. Dwa takie przypadki zilustrowane są na rysunku 32. Oba obwody wytworzą oscylacje o tej samej częstotliwości.

A jakie będą różnice?

Dla ułatwienia analizy załóżmy, że do obu systemów na początek dostarczamy jednakową porcję energii. A to oznacza, że aby w obwodzie z rysunku 32a z małym kondensatorem zgromadzić tę porcję energii, musimy go naładować do wysokiego napięcia. Natomiast ta sama porcja energii „wlana” do kondensatora o dużej pojemności oznacza niewielkie napięcie na kondensatorze. W obwodzie z rysunku 32a pomimo znacznego napięcia, zmiany prądu będą małe, ponieważ duża jest indukcyjność, która przeciwstawia się zmianom prądu. Zapamiętaj: wysokie napięcie i mały prąd.

Natomiast w obwodzie z rysunku 32b indukcyjność jest mała, więc nawet niezbyt duże napięcie z kondensatora spowoduje duże zmiany prądu. Notujemy: małe napięcie i duży prąd. Jeśli chcesz, samodzielnie przeanalizuj analogię hydrauliczną.

Jeszcze raz powtarzam: w obu obwodach powstaną oscylacje o identycznej częstotliwości. Różnica będzie taka, że w pierwszym napięcie będzie duże, a prąd mały, w drugim napięcie małe, a prąd duży.

Jeśli w pierwszym przypadku mamy duże napięcie i mały prąd, to intuicyjnie czujemy, że mamy do czynienia z dużą opornością. W drugim przypadku małe napięcie i duży prąd podpowiadają, że mamy do czynienia z małą opornością.

I słusznie! Zbadajmy tę kwestię nieco bliżej.

Oporność

charakterystyczna

Przy częstotliwości drgań własnych fo cewka będzie miała oporność:

Xi = 2irfoL= ol>oL wcześniej stwierdziliśmy , że:

Wo= 1 / (LC)^1/2

teraz podstawmy coodo pierwszego wzoru:

X, = co₀L= [ 1 / (LC) ^1/2 ]L = L / (LC) ^1/2 X_l=(L²) ^1/2 / (LC) ^1/2 = (L²/ LC) ^1/2 = (L/C) X_l=(L/C) ^1/2

Podobnie podstawmy coo= 1 / (LC) ^1/2 do wzoru na Xc:

X_c= 1 / o)oC= 1 / [1 / (LC)^{1/2 2}JC = (LC)^1/2 / C X_c= (LC) ^1/2 / (C²) ^1/2 = (LC / C²) ^1/2 X_c= (L/C) ^1/2

Zwróć uwagę, że wartości rcaktancji przy częstotliwości drgań możemy obliczyć szybko

Elektronika dla Wszystkich Styczeń 2010 25