26 (391)

50

14.3. Prost* skośne

Jedneimienne rruty prostych a i a skośnych nie nogą się przecinać

«t m m

w punktach P - mn, P -a a i P - a n leżących na wspólnych

I *

odnoszących pionowych i poziomych, tj. P P - prostopadle3 do osi x w m

i P P - prostopadłej do osi z.

Na rysunkach^75. 76, 77, 78 przedstawione są rzuty prostych a i b skośnych, ustawionych dowolnie względem obu rzutni /proste przedstawione na rysunkach 75. 76 i 77/ lub posiadających ustawienie szczególne /prosta b przedstawiona na rys. 78 posiada ustawienie pionowe/. Rozważając rzuty prostych skośnych należy zwrócić uwagę na taki przypadek szczególny, za którym jedna lub obie proste posiadają ustawienie prostopadłe do osi rzutów z. W pierwszym przypadku, gdy Jedna z prostych skośnych a i b Jest ustawiona prostopadle do osi x, a druga z osią x nie tworzy kąta prostego - otrzymujemy rzuty, w których jedno imienne rzuty prostych alb się przecinają i punkty przecięcia się jedno Imiennych rzutów leżą na wspólnej odnoszącej P* P prostopadłej do osi x. Choć przypadek ten j*«t analogiczny do rozważanego wp.14.1 rys.71, a dotyczącego odwzorowania prostych alb przecinających się, to jednak odnosi się on na ogół do rzutów prostych skośnych, chyba że na podstawie rzutu rozważanych prostych na trzecią rzutnię, wynikać będzie, iż mamy do czynienia z odwzorowaniem prostych przecinających się -jak to ma miejsce w szczególnym przypadku przedstawionym na rysunku 71.

V innym przypadku, gdy obie proste skośne a i b są ustawione prostopadle do osi x - otrzymujemy ich rzuty jednoimienne Jakd proste równoległe, położone prostopadle do osi x - czyli analogicznie jak w przypadku przedstawionym w p.14.2. rys. 74, a dotyczącym odwzorowania prostych równoległych. O tym,czy ewentualnie rozważane w rzutach poziomym i pionowym proste alb nie są prostymi skośnymi lecz równoległymi, możemy aię przekonać wykonując ich rzuty na trzecią rzutnię-Jak to ma miejsce w szczególnym przykładzie przedstawionym na rysunku 74.

14.4. P r o ste prostopadłe

Rozpatrując rzuty prostych-prostopadłych, zanalizujmy Oddzielnie przypadki szczególnego ustawienia prostych względem rzutni,oraz przypadek dowolnego ustawienia obu prostych względem rzutni,"

__i

"^Mówiąc o rzutach prostych prostopadłych _tmamy na uwadze zarówno proste przecinające aię Jak i proste skośne, lecz tworzące ze sobą kąt prosty.

. W tym paragrafie omówimy rzuty prostych prostopadłych/przecinających się lub skośnych/, zajmujących szczególne ustawienia względem rzutni, a fcianowlcie: gdy obie proste prostopadłe są ustawione równolegle do jednej z rzutni; jedna z prostych Jest równoległa do jednej rzutni, a-druga zajmuje ustawienie dowolne względem obu rzutni; oraz jedną z prostych jest prostopadła do jednej rzutni, a druga zajmuje ustawienie dowolne względem drugiej rzutni.

Rzutami prostych prostopadłych /przecinających aię lub skośnych/ ustawionych dowolnie względem obu rzutni, będziemy mogli zająć się dopiero w paragrafie 22, tj. po zapoznaniu się najpierw z odwzorowaniem prostych prostopadłych do płaszczyzny i płaszczyzn prostopadłych, gdyż to jest niezbędne dla wyjaśnienia tego przypadku odwzorowania prostych prostopadłych.

Przechodząc do omawiania rzutów prostych prostopadłych ustawionych szczególnie /równolegle lub prostopadle/ do rzutni np. poziomej 31₁, zajmiemy się najpierw przypadkiem, w którym obie proste prostopadłe są ustawione równolegle do rzutni poziomej Jt ₁. Łatwo udowodnić twierdzenie, iż rzutem prostych prostopadłych na rzutnię, do której obie proste są równoległe - są 'proste prostopadłe. Niech będą dane proste alb prostopadłe równoległe do rzutni poziomej X₁'. Ponieważ rzut a' prostej a, jest równoległy do prostej a, oraz rzut t> prostej b, jest równoległy do prostej b - przeto na podstawie prostopadłości prostych a i b musi być a' prostopadłe do b*

Dla przypadku, w którym jedna z prostych prostopadłych lub obie proste ą równoległe do jednej z rzutni, możemy wypowiedzieć następujące twierdzenie: riutem prostych prostopadłych na daną rzutnię są zawsze proste prostopadłe, jeżeli przynajmniej Jednazpros-tych prostopadłych jest równoległa do danej rzutni. Przyjmijmy dla udowodnienia twierdzenia prostą a - równoległą do rzutni JC oraz skośną prostą b prostopadłą do prostej a - dowolnie nachyloną do rzutni X , a następnie zrzutujemy prosta a i b na rzutnię 31 z kierunku k prostopadłego do JC Ijo. 79.

Na prostej b obierzmy punkt H i poprowadźmy przez ten punkt prostą ■ rzutującą - prostopadłą do rzutni X . Prosta m i b wyznaczają płaszczyznę f « mb rzutującą - prostopadłą do X . Rzutem prostej b na płaszczyznę 31 jest prosta b'« 'fil - będąca krawędzią płaszczyzny (p z płaszczyzną X . Ponieważ prosta b -6 y jest prostopadła do prostej a-z założenia, oraz prosta m -e </> jest prostopadła do prostej a, gdyż prosta a jest prostą poziomą, a prosta a - pionową; przeto płaszczyzna y = bm jest prostopadła do prostej a. Prosta a-Jest zatem prostopadła do prostej b' -€    . 2 prostopadłości prostej a do

b* oraz z równoległości prostych a i a - wynika, że prosta a' jest