297 (14)

594 23. Obwody niestacjonarne

Dowodzi się, że jeżeli elemety macierzy kwadratowej A(t) są funkcjami całkowalnymi dla £ ^ t₀, to równanie (23.10) ma tylko jedno rozwiązanie, które jest równe

W(f₀), gdy £ = f₀ [5],

Dowodzi się również, że macierz kwadratowa W(£) jest nieosobliwa, przy czym w przypadku macierzy A(t) o wymiarze n wyznacznik macierzy W(t) jest równy

detW(t) = exp[ } £ a_u(r)dT],

t₀k= 1

gdzie a_kk(T>, k = 1, 2,..., n, są elementami przekątnej głównej macierzy A(£) [5, 18]. Rozwiązaniem równania różniczkowego

dw

di =^a(,,w(,)

z warunkiem początkowym w(t₀) = 1 jest

t

w(£) = exp[ J a(r)dr],    (23.11)

*0

Dowodzi się, że napisane przez analogię do wzoru (23.11) wyrażenie

t

W(t) = exp[ | A(t)dr]    (23.12)

*0

jest rozwiązaniem równania (23.6) z warunkiem początkowym W(t₀) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy [5]

A(t) [ j A(t)dx] = [ \ A(t)dr] A(£).    (23.13)

to    to

Warunek (23.13) jest bardzo ostry, wskutek tego jest on spełniony w bardzo nielicznych przypadkach. Z tego powodu rozwiązanie równania (23.6) w postaci wzoru (23.12) udaje się uzyskać jedynie tylko w nielicznych przypadkach.

23.4. Rozwiązanie numeryczne

Wzór (23.8) umożliwia wyznaczenie rozwiązania równania (23.2a), jeśli znamy macierz tranzycyjną, a to z kolei wymaga rozwiązania równania (23.6), co udaje się jedynie w bardzo nielicznych przypadkach. Z tego powodu przydatność wzoru jest niewielka, a jedyną drogę do uzyskania przybliżonego rozwiązania równania (23.2a) stwarzają metody numeryczne. Wiele informacji na temat obliczeń numerycznych podaje praca [18].

W dalszym ciągu omówimy krótko zmodyfikowaną metodę Eulera i metodę Rungego-Kutty.

23.4. Rozwiązanie numeryczne

595

(23.14)

Równanie stanu (23.2a) przedstawimy w postaci

dx

to =    *)•

przy czym f(x(t), t) = A(t)x(t) + B(t)e(f). Wyznaczymy przybliżone rozwiązanie w dyskretnych chwilach (tj o jednakowym odstępie czasu h, czyli t_k = kh, k = 0, 1, 2,..., wobec tego t_k +, = t_k + h.

W zmodyfikowanej metodzie Eulera [26] wektor stanu x_k w kolejnych czasach oblicza się ze wzoru

x<t +1 =x_ł + Af(x_ł + ifcf(x_Jt,g,t_lk + iA),    (23.15)

a obliczenie zaczyna się od k = 0, przy czym x₀ jest znaną wartością początkową.

W metodzie Rungego-Kutty wektory x_k w kolejnych chwilach t_k oblicza się ze wzoru [8]

x* + i = x* + £(v₁ + 2v₂ + 2v₃ + v₄),    (23.16)

przy czym

(23.17)

v, = hf(x_k, t_k), v₂ = /if(x_t + ivj, t_k+±h), v₃ = fcf(x_t+iv₂, t_k + ih), v₄ = hf(x_k + \₃, t_k + h). .

Obliczenie zaczyna się od k = 0 przy znanej wartości początkowej x₀.