img296

Dowodzi się, że zmienne kanoniczne są niezmiennicze ze względu na liniowe przekształcenia zmiennych pierwotnych jt, lub y*. Stąd wniosek, iż jest obojętne, czy do obliczeń użyte zostaną zmienne pierwotne, czy też ich standaryzowane postaci o £(*,) = Eiyj) = 0 i o\xj) = a¹(yj) = 1.

Analizując korelacje między zmiennymi pierwotnymi a kanonicznymi uzyskujemy związki¹:

COV (*„ Vj) = pJ cov Uj) (/ =	1,2, ...,p; y= 1,2,..	■>s)	(14.7)
cov (yh uj) = p; cov (yf, vj) (i =	1,2, ...,<7; 7= 1,2,..	.,s)	(14.8)
p cov (xh Uj) = Z Ikl cov (xh xj)	(gdzie L = (/J),
*• 1 f			(14.9)
cov (yjf V.) = Z OTjy cov (y*, y,)	(gdzie M = [mj) .

A zatem współczynniki korelacji zmiennych pierwotnych ze zmiennymi kanonicznymi tej samej grupy zmiennych (tzw. wewnętrzne korelacje kanoniczne) uzyskuje się z mnożenia wektora L dla x (lub M dla y) przez macierz korelacji zmiennych pierwotnych. Natomiast korelacje zmiennych pierwotnych jednej grupy ze zmiennymi kanonicznymi drugiej są równe iloczynom korelacji kanonicznej przez korelację wewnętrzną.

Suma kwadratów korelacji wewnętrznych równa się jedności, stąd:

(14.10)

O¹ (*,) = Z COV¹ (X_k, Xj)

O¹ (yj) = Z cov¹ (y_k, yj)

Para wzorów (14.10) pozwala w prosty sposób interpretować zmienne kanoniczne jako liniowe funkcje zmiennych pierwotnych determinujące (określające) w różnym stopniu

296

1

pizy zaożeniu o*(x,-) -    = 1.