296 (16)

592 23. Obwody niestacjonarne

postaci

dx

— = A(0x(t)+B(r)e(t),    (23.2a)

y(r) = C(r)x(r) + D(r)e(r).    (23.2b)

W ogólnym przypadku wszystkie macierze występujące w równaniach (23.2) zależą od czasu, co wyraźnie zaznaczono w zapisie. Podobnie jak w p. 20.5, wielkości x, y, e oznaczają odpowiednio wektory: stanu, odpowiedzi i wymuszeń, macierz A jest kwadratowa, zaś macierze B, C i D są prostokątne.

Całkując równanie (23.2a) w granicach od r₀ do f, otrzymuje się równanie calk owe

x(0 = x(r₀) + J [A(r)x(T) + B(r)e(r)]dT.    (23.3)

<0

Dowodzi się, że jeżeli elementy macierzy A(r) oraz B(r) są funkcjami całkowalnymi dla r ^ r₀, to równanie całkowe (23.3) ma jedno rozwiązanie dla t > t₀, równe x(r₀), gdy l = r₀. Dowód można znaleźć na przykład w pracy [63]. Wzór (23.3) przedstawia uogólnione rozwiązanie równania stanu (23.2a).

23.3. Rozwiązanie niejednorodnego równania stanu 23.3.1. Zależności podstawowe

W celu rozwiązania równania stanu (23.2a) z warunkiem początkowym x(r₀) przedstawimy wektor stanu w postaci

x(t) = W(r)x(r),    (23.4)

gdzie W(t) jest macierzą kwadratową o wymiarze n, a x(r) — wektorem n-wymiaro-wym. Otrzymujemy

dx

dr

dW    dx

—x(r) + W(r)—, dr    dr

a po podstawieniu do równania (23.2a) znajdujemy

dW

dr

- A(r)W(r)

dx

x(r)= -W(r)— + B(r)e(r).

(23.5)

Przypuśćmy, że macierz kwadratowa W(r) jest rozwiązaniem równania jednorodnego

--A(r)Wtr) = 0

dW

12361

i w arunkiem początkowym W(t₀). Wówczas przy założeniu, że W(t) jest macierzą nieosobliwą, czyli istnieje macierz odwrotna W^_1(t), na podstawie wzoru (23.5)

otrzymujemy

— W^-1(r)B(r)e(f),

a stąd po scałkowaniu w granicach od f₀ do t znajdujemy

X(t) = x(to) +J W-^tJBWeWdr,    (23.7)

*0

gdzie x(t₀) jest warunkiem początkowym.

Z zależności (23.4) otrzymujemy x(f) = W'^l(t)x(t), a więc x(f₀) = W^_1(t₀)x(f₀), wobec tego wzór (23.7) przybiera postać

x(t) = W^_1(r₀)x(r₀)+J W^_1WB(t)e(r)dT.

to

Zgodnie z zależnością (23.4), mnożąc lewostronnie to równanie przez W(t), znajdujemy wzór przedstawiający rozwiązanie równania (23.2a):

x(f) = <I>(t, f₀)x(f₀)+ j<D(t, T)B(r)e(r)dT,    (23.8)

*0

przy czym funkcję

<D(_I>T) = W(t,T)W-¹(t_!t)    (23.9)

nazywamy macierzą tranzycyjną (por. p. 20.7.1).

W przypadku obwodów o stałych parametrach, gdy elementy macierzy A są stałymi, macierz tranzycyjna jest funkcją przesuniętego argumentu, o postaci dt»(r — t), jak w p. 20.7.1. Własności tej nie mają obwody o parametrach zależnych od czasu, gdy macierz A jest funkcją czasu.

Ważnym zagadnieniem w teorii układów niestacjonarnych są własności rozwiązania równania (23.2a) przy t-* oo. Własności te bada się w odniesieniu do równań stanu o stałych współczynnikach, omawianych w rozdz. 20, a także w odniesieniu od równań stanu o współczynnikach okresowych, które stanowią ważny dział teorii obwodów' niestacjonarnych. Ze względu na szczupłość miejsca zagadnienia te nie będą omawiane w niniejszej pracy. Obszerne informacje na ten temat podają prace [5, 18, 63].

23.3.2. Własności równania jednorodnego

Omówimy pewne własności równania jednorodnego (23.6). Całkując to równanie w granicach od t₀ do t, otrzymuje się

W(t) = W(r_n)+ f A(t)W(t)c1t. (23.10)