303 2

303

7.5. Różniczkowanie numeryczne

3 Wyprowadzić wzór przybliżony dla. f(x₀), zakładający znajomość wartości /(*_,), ) r(xt) w punktach, które nie są równoodległe. Podać przybliżoną resztę.

^} 4 S;ech będzie Xi=x₀ + ift i niech P(x) będzie wielomianem drugiego stopnia przybliżającym funkcję f(x) najlepiej w sensie aproksymacji sredniokwadratowej na zbiorze

pi-* *#£*■.

■hTU.«) * ^"<*o>=i¹/,    ,

*r(xo)=5 </. -/-.) + ?O--2/, +2/- ■ -/-₂).

7.6. Rachunek operatorów 7.6.1. Algebra operatorów

Wskazaliśmy już wcześniej na możliwość wykonywania działań na operatorach różnicowych. Twierdzenia 7.1.1 i 7.1.2 napisano w postaci (7.6.1) gdzie prawą stronę rozwija się jak dwumian Newtona. Wzór interpolacyjny Newtona dla węzłów równoodległych (twierdzenie 7.3.6) stanowił uogólnienie drugiej z tych. równości na niecałkowite k.

ł ormalne obliczenia na operatorach, wykorzystujące reguły algebry' 1 analizy', są często eleganckim narzędziem konstrukcji wzorów przybliżonych. Ścisłe ujęcie rachunku operatorowego leży' poza zasięgiem tej książki. Wzory, które znajdziemy stosując te metody operatorowe, trzeba później udowodnić w jakiś inny sposób. Dla uproszczenia założymy, & operatory' stosuje się do funkcji z przestrzeni C*( —oo, 00), tj. do funkcji mających wszystkie pochodne ciągłe na prostej (-cc, cc).

^Efi*)=f(x-k)

4Ax)~Ax+ii)--f(x) ^DJ(x)=f-(x)

óf (x) =f (x _ y_t) _/(_x _ y_;)

+    -U)]

^vJW=A4~f(x-h)

Określamy następujące operatory:

(operator przesunięcia),

(<operator różnicy progresywnej),

(operator różniczkowania).,

(operator różnicy centralnej),

(operator średniowaritó).

v * j •*/    (operator różnicy wiecznej).

. < a.or p nążywamy liniowym, jeśl dla dowolnych stałych % i fi i dowolnych funkcji zachodzi równość

■■ ,'^ikie określone w

tei

liniowy.

PUtf+fg)=*P%ffiPg-

yżej operatory są liniowe. Operator mnożenia funkcji przez stałą