315 2

315

7.7. Funkcje wielu zmiennych

^ ^:    współczynniki O,, nazywane współrzędnymi baryccntrycznymi punktu F. wyznacza

^"Stępującego układu meosobliwcgo równań

0,X, + $₂X₂+&₃^X1

\0|    + 0J ⁺^3

(1.

_Wnę,_r/C trójkąta 7'charakteryzują nierówności

0,>O    (/= l, 2,3)

W pm przypadku F jest środkiem ciężkości dla trzech mas B_t, B₂, 6₅ umieszczonych _w wierzchołkach trójkąta (tłumaczy to nazwę „współrzędne baryeentryczne”) Równanie g.^ff określa bok P₂F₃ trójkąta i podobnie jest dla dwóch pozostałych

Jcś?i u jest funkcją liniową niejednorodną punktu P, tzn. jeśli u( P) = a^JP ±b, to - jak czytelnik może sprawdzić -

(77.15)    u{P\=0_} u{P-i)+6iu(P₂) + $}U(P₃) •

Jest to wzór interpolacji liniowej na siatce trójkątnej. Aby otrzymać interpolację kwadratową definiujemy wielkości

(7.7.16)    ^j*=u(P_i) + u(F_i)-2«(l(F_ł+F_J))    (i*j)

Niech będzie uy-uiPj.

Twierdzenie 7.7.1. Wzór interpolacyjny

u(P)*e< u, +Mj + M3-2(M^M+flM!+ffMi)

jeśt dokładny dla wszystkich wielomianów drugiego stopnia.

Dow ód Prawa strona tego wzoru (oznaczmy ją chwilowo PS) jest funkcją kwadratową punktu F. gdyż z (7.7.14) wynika, źe % są funkcjami liniowym: (niejednorodnymi) zmiennych a-, y (zob. też zadanie 8). Pozostaje wykazać, że PS jest równe u{ P) dla P-F, ^; ^-(F,-t F;)/2 <U=1,2,3).

D!a F = F, mamy

0i=l,    Oj—0 C/#<),

^Wi^ PS = «j. Dla F=(F, + P_}){2 mamy

0_{i =} (j=i. ^=0    (kći.kćjf.

wiec

PS = iu_s. + 4a_y-.2-l-|[u_ł+u_i-2u(i(F.. + F_i))J = u(i(F_i-EF^)

Poniższe twierdzenie jest równoważne regule używanej w mechanice już w dziewiętnas-wieku do obiiczania momentów bezwładności:

Sierdzenie: 7.7.2. Wzór całkowania

^C77-I7) fekie a

fi “(*. >•) dx dy » iA & ||{i*! +    + P₃)) -r u (ł(P₃ - />,»]

jest polem trójkąta Tj jest dokładny dla wszystkich wielomianów stopnia drugiego.