328 (29)

538

Uwzględniając równanie (XIV.6) i (XIV.4) znajdziemy

a po uporządkowaniu i pomnożeniu przez £ ostatecznie

da, da_r

^rU~^v*'J^+(1+vH‘’-‘^rJ=0-

(XIV.8)

Równania (XIV.2) i (XIV.8) tworzą system równań różniczkowych wiążących zmienne a„ a_r, y w funkcji promienia r.

Rozwiązanie układu równań (XIV.2) i (XIV.8) nie jest bezpośrednio możliwe, gdyż liczba zmiennych jest o jedną za duża. Pozostają zatem dwie możliwości:

A.    Zadanie wprost: analiza naprężeń przy danym kształcie tarczy, czyli znanej funkcji y(r).

B.    Zadanie odwrotne: synteza kształtu tarczy przy zadanym przebiegu naprężeń.

2.2. Tarcza równej wytrzymałości — przykład zadania odwrotnego

Zadanie to znane jest od około 100 lat, gdyż zostało zastosowane w pierwszej turbinie parowej de Lavala w 1883 r.

W tarczy równej wytrzymałości zakładamy stałość naprężeń wzdłuż promienia:

(XIV.9)

a, — a_r — o — const,

tym samym

Warunek (XIV.9) wstawiony do równania (XIV.8) spełnia je tożsamościowo, prowadząc do relacji

0 + 0 = 0.

Podstawiając natomiast (XIV.9) do równania (XIV.2) otrzymamy

II

0

r —+<r- ⁽y- + (ff-cr) + Qco²r² = 0,

dr y dr

H    I

czyli

_aL.^dJ._+e coV=0

y dr

lub

dy 1    ,

o— — + QU)²r *0.    (XIV.10)

y dr

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe tarczy równej wytrzymałości. Rozdzielając zmienne

dy _ (W* . y    a

i całkując znajdujemy po zdelogarytmowaniu

y = y₀exp^-~ r* j    (X1V.11)

(y₀ — szerokość tarczy w osi obrotów). Wzór (XIV.11) określa poszukiwaną funkcję y(r), czyli kształt tarczy równej wytrzymałości (rys. XIV.3).

Dla promienia zewnętrznego r = r. szerokość tarczy wynosi

i

stąd

y₀ = y,exp

(XIV. 12)

Z równania (XIV. 12) wynika największa grubość tarczy y₀, jeżeli dana jest grubość y. (wieńca). Grubość y₀ nie może być dowolnie duża w stosunku do promienia zewnętrznego, gdyż milcząco zakładano, że mamy do czynienia