358 2

358

8. Równania różniczkowe

Nieosobliwość macierzy tego układu wynika np. z zadania 5 do § 7.3 (>yznacznik J$S cierzy jest wyznacznikiem Vandcrmonde’a, jest w-ięc równy iloczynowi wszystkiet^*¹**' Ui—Uj dla \^j<i^k, a te różnice są. niczerowe). Dlatego rozwiązanie ogólne */- '°^^Uc różnicowego jest dane wzorem (8.5.5).    ^lłaa,a

Przykład 8.5.2. Równanie różnicowe: y„+₂ — 5y_n., +6v_(l=0. Warunki początkowa: >'_o=0. >, = 1.

Równanie charakterystyczne: «²-5u + 6=0, pierwiastki: w, = 3, w_i=2, Rozwiązanie ogólne: u„=c_t -3"H- c₂ •2".

Warunki początkowa dają układ równań

c_x+ c₂ =0 (/i = 0),

3C|+2c_z = l    (>t = I).

Układ ma rozwiązanie c, = 1, c₂ = —1. Stąd

Otrzymuje się np. 74 = 81-16 = 65, zgodnie z przykładem 8.5.J.

Przykład 8.5.3. Równanie różnicowe:

!„+,(>:)-2xT_rt(x)+= 0    (ń>I, -Kx<l).

Warunki początkowa: T₀(x)=l, 7*, (x) = x.

Równanie charakterystyczne: u²—2jck-1=0, pierwiastki: u—x±i\'\-x². Przyjmijmy, że x=cosp. Wtedy «=cos <u±/sin ę, a wiec

u₁=exp(<»,    u₂ = cxp(—itp),    u_x=£u_z.

Rozwiązanie ogólne: 7"₁₁(.Y)=e_lexp(ńi <?) + c₂exp( - in ©).

Warunki początkowe dają równania

c,    +c₂    =1    («=0),

c, exp(*5»)+c₂óxp(—/$f»).=cos v> (n = l),

skąd c_ł=c₂=i. Wobec tego

r„(x) = cos (n tp),    gdzie x=cos <p.

Porównajmy tc wyniki z wielomianami Czebyszewa z § 4.4.1.

Twierdzenie 8.5.2. Jeśli u, jest m-krotnympierwiastkiem równania charakterystyk lo wnanie różnicowe (8.5.3) jest spełnione przez ciąg {>■,} taki, że

}j=P(J)u{,

tej postać.

gdzie P jest dowolnym wielomianem stopniu m— 1.

Rozwiązanie ogólne równania różnicowego jest kombinacją liniową rozwiązań odpowiadających wszystkim różnym pierwiastkom równania charakterystycznego.